Четырёхполюсник

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения^[1]. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U₁, I₁) и выходной (U₂, I₂) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой

${\displaystyle {\begin{cases}U_{2}=b_{11}U_{1}+b_{12}I_{1}\\I_{2}=b_{21}U_{1}+b_{22}I_{1}\\\end{cases}};~~~{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}}$

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметров

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсника^[2]:

• A-форма U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенные^[3] или комплексные^[4] параметры.
• Y-форма I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂, где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ — Y-параметры, или параметры проводимостей^[5].
• Z-форма U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂, где Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂ — Z-параметры, или параметры сопротивлений^[5].
• H-форма U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂=h₂₁I₁+h₂₂U₂, где h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂ — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторами^[3].
• G-форма I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂; U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂, где G — это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
• B-форма U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁; I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров

Тип	Система уравнений	Эквивалентная схема	Измерение параметров
${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle g_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad g_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}}$ ${\displaystyle g_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad g_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{U_{1}=0}}$
${\displaystyle H}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle h_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad h_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}}$ ${\displaystyle h_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad h_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{I_{1}=0}}$
${\displaystyle Y}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle y_{11}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}}$ ${\displaystyle y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{U_{2}=0}\quad y_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{2}}}\right|_{U_{1}=0}}$
${\displaystyle Z}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle z_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad z_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}}$ ${\displaystyle z_{21}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}\quad z_{22}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}}$
${\displaystyle A}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle a_{11}=\left.{\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}\quad a_{12}=\left.{\frac {U_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}}$ ${\displaystyle a_{21}=\left.{\frac {I_{1}}{U_{2}}}\right|_{I_{2}=0}\quad a_{22}=\left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{U_{2}=0}}$
${\displaystyle B}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}U_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle b_{11}=\left.{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}\quad b_{12}=\left.{\frac {U_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}}$ ${\displaystyle b_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{U_{1}}}\right|_{I_{1}=0}\quad b_{22}=\left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{U_{1}=0}}$

Преобразование параметров

	${\displaystyle H}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Z}$	${\displaystyle G}$	${\displaystyle A}$
${\displaystyle H}$		${\displaystyle h_{11}=1/y_{11}}$ ${\displaystyle h_{12}=-y_{12}/y_{11}}$ ${\displaystyle h_{21}=y_{21}/y_{11}}$ ${\displaystyle h_{22}=\Delta _{y}/y_{11}}$ ${\displaystyle \Delta _{h}=y_{22}/y_{11}}$	${\displaystyle h_{11}=\Delta _{z}/z_{22}}$ ${\displaystyle h_{12}=z_{12}/z_{22}}$ ${\displaystyle h_{21}=-z_{21}/z_{22}}$ ${\displaystyle h_{22}=1/z_{22}}$ ${\displaystyle \Delta _{h}=z_{11}/z_{22}}$	${\displaystyle h_{11}=g_{22}/\Delta _{g}}$ ${\displaystyle h_{12}=-g_{12}/\Delta _{g}}$ ${\displaystyle h_{21}=-g_{21}/\Delta _{g}}$ ${\displaystyle h_{22}=g_{11}/\Delta _{g}}$ ${\displaystyle \Delta _{h}=1/\Delta _{g}}$	${\displaystyle h_{11}=B/D}$ ${\displaystyle h_{12}=\Delta _{A}/D}$ ${\displaystyle h_{21}=-1/D}$ ${\displaystyle h_{22}=C/D}$
${\displaystyle Y}$	${\displaystyle y_{11}=1/h_{11}}$ ${\displaystyle y_{12}=-h_{12}/h_{11}}$ ${\displaystyle y_{21}=h_{21}/h_{11}}$ ${\displaystyle y_{22}=\Delta _{h}/h_{11}}$ ${\displaystyle \Delta _{y}=h_{22}/h_{11}}$		${\displaystyle y_{11}=z_{22}/\Delta _{z}}$ ${\displaystyle y_{12}=-z_{12}/\Delta _{z}}$ ${\displaystyle y_{21}=-z_{21}/\Delta _{z}}$ ${\displaystyle y_{22}=z_{11}/\Delta _{z}}$ ${\displaystyle \Delta _{y}=1/\Delta _{z}}$	${\displaystyle y_{11}=\Delta _{g}/g_{22}}$ ${\displaystyle y_{12}=g_{12}/g_{22}}$ ${\displaystyle y_{21}=-g_{21}/g_{22}}$ ${\displaystyle y_{22}=1/g_{22}}$ ${\displaystyle \Delta _{y}=g_{11}/g_{22}}$	${\displaystyle y_{11}=D/B}$ ${\displaystyle y_{12}=-\Delta _{A}/B}$ ${\displaystyle y_{21}=-1/B}$ ${\displaystyle y_{22}=A/B}$
${\displaystyle Z}$	${\displaystyle z_{11}=\Delta _{h}/h_{22}}$ ${\displaystyle z_{12}=h_{12}/h_{22}}$ ${\displaystyle z_{21}=-h_{21}/h_{22}}$ ${\displaystyle z_{22}=1/h_{22}}$ ${\displaystyle \Delta _{z}=h_{11}/h_{22}}$	${\displaystyle z_{11}=y_{22}/\Delta _{y}}$ ${\displaystyle z_{12}=-y_{12}/\Delta _{y}}$ ${\displaystyle z_{21}=-y_{21}/\Delta _{y}}$ ${\displaystyle z_{22}=y_{11}/\Delta _{y}}$ ${\displaystyle \Delta _{z}=1/\Delta _{y}}$		${\displaystyle z_{11}=1/g_{11}}$ ${\displaystyle z_{12}=-g_{12}/g_{11}}$ ${\displaystyle z_{21}=g_{21}/g_{11}}$ ${\displaystyle z_{22}=\Delta _{g}/g_{11}}$ ${\displaystyle \Delta _{z}=g_{22}/g_{11}}$	${\displaystyle z_{11}=A/C}$ ${\displaystyle z_{12}=\Delta _{A}/C}$ ${\displaystyle z_{21}=1/C}$ ${\displaystyle z_{22}=D/C}$
${\displaystyle G}$	${\displaystyle g_{11}=h_{22}/\Delta _{h}}$ ${\displaystyle g_{12}=-h_{12}/\Delta _{h}}$ ${\displaystyle g_{21}=-h_{21}/\Delta _{h}}$ ${\displaystyle g_{22}=h_{11}/\Delta _{h}}$ ${\displaystyle \Delta _{g}=1/\Delta _{h}}$	${\displaystyle g_{11}=\Delta _{y}/y_{22}}$ ${\displaystyle g_{12}=y_{12}/y_{22}}$ ${\displaystyle g_{21}=-y_{21}/y_{22}}$ ${\displaystyle g_{22}=1/y_{22}}$ ${\displaystyle \Delta _{g}=y_{11}/y_{22}}$	${\displaystyle g_{11}=1/z_{11}}$ ${\displaystyle g_{12}=-z_{12}/z_{11}}$ ${\displaystyle g_{21}=z_{21}/z_{11}}$ ${\displaystyle g_{22}=\Delta _{z}/z_{11}}$ ${\displaystyle \Delta _{g}=z_{22}/z_{11}}$		${\displaystyle g_{11}=C/A}$ ${\displaystyle g_{12}=-\Delta _{A}/A}$ ${\displaystyle g_{21}=\Delta _{A}/A}$ ${\displaystyle g_{22}=B/A}$
${\displaystyle A}$	${\displaystyle A=-\Delta _{h}/h_{21}}$ ${\displaystyle B=-h_{11}/h_{21}}$ ${\displaystyle C=-h_{22}/h_{21}}$ ${\displaystyle D=-1/h_{21}}$	${\displaystyle A=-y_{22}/y_{21}}$ ${\displaystyle B=-1/y_{21}}$ ${\displaystyle C=-\Delta _{y}/y_{21}}$ ${\displaystyle D=-y_{11}/y_{21}}$	${\displaystyle A=z_{11}/z_{21}}$ ${\displaystyle B=\Delta _{z}/z_{21}}$ ${\displaystyle C=1/z_{21}}$ ${\displaystyle D=z_{22}/z_{21}}$	${\displaystyle A=1/g_{21}}$ ${\displaystyle B=g_{22}/g_{21}}$ ${\displaystyle C=g_{11}/g_{21}}$ ${\displaystyle D=\Delta _{g}/g_{21}}$

Преобразования схем

R_in, R_out — входное и выходное сопротивления; K_I, K_U — коэффициенты усиления по току и напряжению.

${\displaystyle R_{in}={\frac {U_{1}}{I_{1}}};\qquad R_{out}={\frac {U_{2}}{I_{2}}};\qquad K_{I}={\frac {I_{2}}{I_{1}}};\qquad K_{U}={\frac {U_{2}}{U_{1}}}.}$

Схема	${\displaystyle H}$	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle Z}$	${\displaystyle G}$
	${\displaystyle R_{in}={\frac {h_{11}+\Delta _{h}R}{1+h_{22}R}}}$ ${\displaystyle R_{out}={\frac {h_{11}+r}{\Delta _{h}+h_{22}r}}}$ ${\displaystyle K_{I}={\frac {h_{21}}{1+h_{22}R}}}$ ${\displaystyle K_{U}={\frac {-h_{21}R}{h_{11}+\Delta _{h}R}}}$	${\displaystyle R_{in}={\frac {1+y_{22}R}{y_{11}+\Delta _{y}R}}}$ ${\displaystyle R_{out}={\frac {1+y_{11}r}{y_{22}+\Delta _{y}r}}}$ ${\displaystyle K_{I}={\frac {y_{21}}{y_{11}+\Delta _{y}R}}}$ ${\displaystyle K_{U}={\frac {-y_{21}R}{1+y_{22}R}}}$	${\displaystyle R_{in}={\frac {\Delta _{z}+z_{11}R}{z_{22}+R}}}$ ${\displaystyle R_{out}={\frac {\Delta _{z}+z_{22}r}{z_{22}+r}}}$ ${\displaystyle K_{I}={\frac {-z_{21}}{z_{22}+R}}}$ ${\displaystyle K_{U}={\frac {z_{21}R}{-\Delta _{z}+z_{11}R}}}$	${\displaystyle R_{in}={\frac {g_{22}+R}{\Delta _{g}+g_{11}R}}}$ ${\displaystyle R_{out}={\frac {g_{22}+\Delta _{g}r}{1+g_{11}r}}}$ ${\displaystyle K_{I}={\frac {-g_{21}}{\Delta _{g}+g_{11}R}}}$ ${\displaystyle K_{U}={\frac {g_{21}R}{g_{22}+R}}}$

Разновидности четырёхполюсников

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников

Идеальный трансформатор

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):

${\displaystyle {\begin{cases}U_{1}=h_{12}U_{2}\\I_{2}=h_{21}I_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}U_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h_{12}\\h_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}}$

Гиратор

Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивления^[6]). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:

${\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=y_{12}U_{2}\\I_{2}=-y_{21}U_{1}\\\end{cases}};{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&y_{12}\\-y_{21}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{pmatrix}}}$

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

${\displaystyle Z_{out}={\frac {1}{-Z_{in}y_{21}^{2}}}}$

Нуллор

Нуллор  — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значения^[7]. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

См. также

Двухполюсник

Примечания

Литература

• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.
• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996. — 638 с.
• Кисель В.А. Аналоговые и цифровые корректоры. — М.: Радио и связь, 1986. — 184 с.
• Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989. — 528 с. — ISBN 5-256-00265-1.

Эта страница в последний раз была отредактирована 21 февраля 2024 в 12:55.