Индикатор (математика)

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ — это функция, определённая на множестве ${\displaystyle X}$, которая указывает на принадлежность элемента ${\displaystyle x\in X}$ подмножеству ${\displaystyle A}$.

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

Определение

Пусть ${\displaystyle A\subseteq X}$ — выбранное подмножество произвольного множества ${\displaystyle X}$. Функция ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}}$, определённая следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.}$

называется индикатором множества ${\displaystyle A}$.

Альтернативными обозначениями индикатора множества ${\displaystyle A}$ являются: ${\displaystyle \chi _{A}}$ или ${\displaystyle \mathbf {I} _{A}}$, а иногда даже ${\displaystyle A(x)}$ а также скобка Айверсона ${\displaystyle [x\in A]}$.

(Греческая буква ${\displaystyle \chi }$ происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ может означать функцию идентичности.

Основные свойства

Отображение, которое связывает подмножество ${\displaystyle A\subseteq X}$ с его индикатором ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ инъективно. Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — два подмножества ${\displaystyle X\ }$, то

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\mathbf {1} _{B},}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\triangle B}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-2(\mathbf {1} _{A\cap B}),}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{c}}=1-\mathbf {1} _{A}.}$

Более обобщённо, предположим ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ — это набор подмножеств ${\displaystyle X}$. Ясно, что для любого ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех ${\displaystyle x\in X}$, которые не принадлежат ни одному множеству ${\displaystyle A_{k}}$ и 0 иначе. Поэтому

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$

Разворачивая левую часть, получаем

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}},}$

где ${\displaystyle |F|}$ — мощность ${\displaystyle F}$. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если ${\displaystyle X}$ — вероятностное пространство с вероятностной мерой ${\displaystyle \mathbf {P} }$, а ${\displaystyle A}$ — измеримое множество, то индикатор ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности ${\displaystyle A:}$

${\displaystyle E(\mathbf {1} _{A})=\int \limits _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbf {P} =\int \limits _{A}d\mathbf {P} =\mathbf {P} (A).\quad }$

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

Библиография

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. также

• Простая функция
• Функция принадлежности

Эта страница в последний раз была отредактирована 1 декабря 2021 в 13:18.