Формула трубки

Формула трубки или формула Вейля — выражение для объёма ${\displaystyle r}$-окрестности подмногообразия как многочлен от ${\displaystyle r}$. Предложена Германом Вейлем.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle M}$ замкнутое ${\displaystyle m}$-мерное подмногообразие в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве, соответственно ${\displaystyle k=n-m}$ есть коразмерность ${\displaystyle M}$.

Обозначим через ${\displaystyle M_{r}}$ ${\displaystyle r}$-окрестность ${\displaystyle M}$. Тогда для всех достаточно малых положительных значений ${\displaystyle r}$ выполняется равенство

${\displaystyle V(M_{r})=\omega _{k}\cdot r^{k}\cdot \sum _{m\geq 2\cdot i\geq 0}V_{i}(M)\cdot {\frac {r^{2\cdot i}}{k\cdot (k+2)\cdots (k+2\cdot i)}},}$

где ${\displaystyle V(M_{r})}$ — объём ${\displaystyle M_{r}}$, ${\displaystyle \omega _{k}}$ — объём единичного шара в ${\displaystyle k}$-мерном евклидовом пространстве. и

${\displaystyle V_{i}(M)=\int \limits _{M}p_{i}(\mathrm {Rm} )}$

для некоторого однородного многочлена ${\displaystyle p_{i}}$ степени ${\displaystyle i}$; здесь ${\displaystyle \mathrm {Rm} }$ обозначает тензор кривизны.

Выражение ${\displaystyle p_{i}(\mathrm {Rm} )}$ — это так называемая кривизна Липшица — Киллинга, она пропоциональна среднему пфафиану тензора кривизны по всем ${\displaystyle (2\cdot i)}$-мерным подпространствам касательного пространства.

Замечания

• Младший ненулевой коэффициент ${\displaystyle V_{0}(M)}$ есть ${\displaystyle m}$-мерный объём ${\displaystyle M}$.
• Если размерность ${\displaystyle M}$ чётна, ${\displaystyle m=2\cdot k}$, то

  ${\displaystyle V_{k}=\chi (M),}$

где ${\displaystyle \chi (M),}$ — эйлерова характеристика ${\displaystyle M}$.

Следствия

• Объём ${\displaystyle r}$-окрестности ${\displaystyle \gamma _{r}}$ простой замкнутой гладкой кривой ${\displaystyle \gamma }$ в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве при малых ${\displaystyle r}$ выражается формулаой

  ${\displaystyle V(\gamma _{r})=L(\gamma )\cdot r^{n-1},}$

где ${\displaystyle L(\gamma )}$ обозначает длину ${\displaystyle \gamma }$.

• Для гладких замкнутой поверхности ${\displaystyle M}$ в 3-мерном евклидовом пространстве выполняется равенство

  ${\displaystyle V(M_{r})=S(M)\cdot r+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3}.}$

• Если два подмногообразия евкидова пространства изометричны, то объёмы их ${\displaystyle r}$-окрестностей совпадают для всех малых положительных ${\displaystyle r}$.

Вариации и обобщения

• Формула полутрубки для гиперповерхностей выражает объём односторонней ${\displaystyle r}$-окрестности ${\displaystyle M_{r}^{+}}$, она также является многочленом от ${\displaystyle r}$, но не все коэффициенты зависят от внутренней кривизны. В частности для поверхностей в трёхмерном пространстве формула полутрубки принимает вид

  ${\displaystyle V(M_{r}^{+})=S(M)\cdot r+{\biggl [}\int \limits _{M}H{\biggr ]}\cdot r^{2}+{\tfrac {2}{3}}\cdot \pi \cdot \chi (M)\cdot r^{3},}$

где ${\displaystyle H}$ обозначает среднюю кривизну.

См. также

• Обобщённая формула Гаусса — Бонне
• Смешанный объём
• Трубчатая окрестность

Литература

• Грей А. Трубки. Формула Вейля и ее обобщения, Мир, 1993.
• Hermann Weyl. On the Volume of Tubes (англ.) // American Journal of Mathematics. — 1939. — Vol. 61, no. 2. — P. 461—472.
• Simon Willerton, Intrinsic Volumes and Weyl’s Tube Formula

Эта страница в последний раз была отредактирована 20 марта 2024 в 21:59.