Закон Рэлея — Джинса

Зако́н Рэле́я — Джи́нса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и испускательной способности ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ абсолютно чёрного тела с температурой ${\displaystyle T}$. Получен Рэлеем и Джинсом в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе)^[1][2][3]. Здесь ${\displaystyle \omega }$ — частота излучения, но в качестве аргумента могут выбираться и другие параметры, например длина волны.

Правильно описывает низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводит к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), указывающему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче. Универсальным выражением для спектральной плотности является формула Планка, в пределе ${\displaystyle \omega \to 0}$ превращающаяся в закон Рэлея — Джинса.

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы, в соответствии с которым на каждое электромагнитное колебание приходится, в среднем, энергия ${\displaystyle kT}$ (${\displaystyle k}$ - постоянная Больцмана), состоящая из двух частей ${\displaystyle kT/2}$. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная.

Само по себе равновесное излучение в полости можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве в диапазоне частот ${\displaystyle \omega \ldots \omega +\mathrm {d} \omega }$ даётся выражением

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}}$.

Скорость волны ${\displaystyle v}$ следует положить равной скорости света ${\displaystyle c}$. Так как в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, выражение вдобавок необходимо помножить на два:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}}$.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию ${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=kT}$. При этом плотность энергии, приходящаяся на интервал частот ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$, составит

${\displaystyle u(\omega ,T)\mathrm {d} \omega ={\overline {\varepsilon }}\mathrm {d} n_{\omega }=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\mathrm {d} \omega }$,

и следовательно:

${\displaystyle u(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}}$.

Можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$» к аргументу «длина волны ${\displaystyle \lambda }$» (${\displaystyle \omega =2\pi c/\lambda }$):

${\displaystyle u(\lambda ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\lambda }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}}$.

Также можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$» к аргументу «частота ${\displaystyle \nu }$» в герцах (${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$):

${\displaystyle u(\nu ,T)=u(\omega ,T)|{\frac {d\omega }{d\nu }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot 2\pi ={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}}$.

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ ${\displaystyle u}$ снабжают значком: ${\displaystyle u_{\omega }}$, ${\displaystyle u_{\nu }}$ или ${\displaystyle u_{\lambda }}$.

Зная связь испускательной способности абсолютно чёрного тела ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения ${\displaystyle I(\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)}$, для ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ находим:

${\displaystyle I(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}}$.

Выражения для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ называют формулой Рэлея — Джинса.

Формулы для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle I(\omega ,T)}$ удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ по ${\displaystyle \omega }$ в пределах от 0 до ${\displaystyle \infty }$ для равновесной плотности энергии ${\displaystyle u(T)}$ дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях ${\displaystyle u(T)}$. Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции ${\displaystyle u(\omega ,T)}$, соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемой формулой Планка.

Эта страница в последний раз была отредактирована 5 мая 2024 в 10:41.