Фактормножество

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на множестве ${\displaystyle X}$, обозначается ${\displaystyle X/\!\sim }$. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из ${\displaystyle X}$ в множество классов эквивалентности ${\displaystyle X/\!\sim }$ называется факторотображением. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие ${\displaystyle \forall x,\;y\in X}$, либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента ${\displaystyle x\in X}$ однозначно определён некоторый класс из ${\displaystyle X/\!\sim }$, иными словами существует сюръективное отображение из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X/\!\sim }$. Класс, содержащий ${\displaystyle x}$, иногда обозначают ${\displaystyle [x]}$.

Если множество снабжено структурой, то часто отображение ${\displaystyle f\colon X\to X/\!\sim }$ можно использовать, чтобы снабдить фактормножество ${\displaystyle X/\!\sim }$ той же структурой; например классы эквивалентности топологического пространства можно снабдить индуцированной топологией (факторпространство), классы эквивалентности алгебраической системы снабдить теми же операциями и отношениями (факторсистема).

Применения и примеры

Если задано сюръективное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, тогда на множестве ${\displaystyle X}$ задаётся отношение ${\displaystyle x\sim x'\iff f(x)=f(x')}$. Можно рассмотреть фактормножество ${\displaystyle X/\!\sim }$. Функция ${\displaystyle f}$ задаёт естественное взаимно-однозначное соответствие между ${\displaystyle X/\!\sim }$ и ${\displaystyle Y}$.

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Проективную плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$ можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности ${\displaystyle (x,\;y,\;z)\sim (-x,\;-y,\;-z)}$.

Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра ${\displaystyle S^{1}\times [0,\;1]}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle (\varphi ,\;0)\sim (-\varphi ,\;1)}$ (${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\;\pi ]}$ — угловая координата на окружности).

Свойства

Факторотображения q : X → Y описывается среди сюръективных отображений следующим свойством: если Z является каким-либо топологическим пространством и f : Y → Z является какой-либо функцией, то f является непрерывным тогда и только тогда, когда f ∘ q непрерывна.

Факторпространство X/~ вместе с факторотображением q : X → X/~ описывается следующим универсальным свойством: если g : X → Z является непрерывным отображением, таким что если из a ~ b следует g(a) = g(b) для всех a и b из X, то существует единственное отображение f : X/~ → Z, такое что g = f ∘ q. Мы говорим, что g спускается до факторотображения.

Непрерывные отображения, определённые на X/~ поэтому являются в точности такими отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определённых на X, которые удовлетворяют отношению эквивалентности (в смысле, что они переводят эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий обширно используется при изучении факторпространств.

Если дана непрерывная сюръекция q : X → Y, полезно иметь критерий, по которому можно определить, является ли q факторотображением. Два достаточных условия — q является открытым^[en] или закрытым отображением^[en]. Заметим, что эти условия являются лишь достаточными, но не необходимыми. Легко построить примеры факторотображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторотображение является открытым.

Совместимость с другими топологическими понятиями

• Отделимость
  • В общем случае факторпространства плохо себя ведут относительно аксиом отделимости. Свойства отделимости множества X не обязательно наследуются при X/~ и X/~ могут иметь свойства отделимости, не существующие в X.
  • X/~ является пространством T₁^[en] тогда и только тогда, когда любой класс эквивалентности ~ замкнут в X.
  • Если факторотображение открыто^[en], то X/~ является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда ~ является замкнутым подмножеством произведения пространств X×X.
• Связность
  • Если пространство связно или линейно связно, то таковыми являются все его факторпространства.
  • Факторпространство односвязного или стягиваемого пространства не обязательно будет обладать этими свойствами.
• Компактность
  • Если пространство компактно, таковыми будут и все его факторпространства.
  • Факторпространство локально компактного пространства не обязательно локально компактно.
• Размерность пространства
  • Топологическая размерность факторпространства может быть больше (а может быть и меньше) размерности исходного пространства; заполняющие пространство кривые дают такие примеры.

Эта страница в последний раз была отредактирована 9 декабря 2023 в 17:58.