Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.[1]
Классическое уравнение Эйлера
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
где — поверхность выделенного объёма, — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что , где — плотность жидкости в данной точке, получим:
В силу произвольности объёма подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:
получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:
|
где
- — плотность жидкости,
- — давление в жидкости,
- — вектор скорости жидкости,
- — вектор напряжённости силового поля,
- — оператор набла для трёхмерного пространства.
Частные случаи
Стационарный одномерный поток
Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид
В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по при постоянной плотности жидкости получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:
Несжимаемая жидкость
Пусть . Используя известную формулу
перепишем соотношение в форме
Беря ротор и учитывая, что
а частные производные коммутируют, получаем, что
|
Адиабатическое течение
В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции следующим образом:
- в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия постоянна.
Следовательно:
Используя известное соотношение
и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера, получим искомое представление в виде
См. также
- Уравнения Лагранжа
- Уравнение Эйлера в форме Громеки — Лэмба
- Уравнения движения вязкой жидкости
- Конформные преобразования — метод нахождения формы невязких течений, решений уравнения Эйлера.
- Уравнение вихря
- Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
Примечания
- ↑ Стюарт, 2015, с. 315.
Литература
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М., 1986. — («Теоретическая физика», том VI).
- Falkovich G. Fluid Mechanics (A short course for physicists) Cambridge University Press 2011
- Стюарт, Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
Ссылки
Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.