Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.
Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.
Как перевоплотить Википедию
Хотите, чтобы Википедия всегда выглядела так профессионально и современно? Мы создали расширение для браузера. Оно совершенствует любую страницу энциклопедии, которую вы посетите, с помощью магических технологий WIKI 2.
Попробуйте — вы его можете удалить в любой момент.
Установить за 5 сек.
Да-да, но позже
4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена.[1] Уравнение имеет вид
где — безразмерный радиус, связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением для центральной плотности . Показатель является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния
где и — давление и плотность, — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: и . Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом . Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.
В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.
Вывод уравнения
Из условия гидростатического равновесия
Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:
где является функцией . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид
где также является функцией . Повторное дифференцирование приводит к выражению
где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на и переносим слагаемые с производными в левой части:
Делим обе части на , при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на и ,то равенство примет вид
Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:
что снова даёт размерную форму искомого уравнения.
Решения
Для заданного значения индекса политропы обозначим решение уравнения как . В общем случае уравнение приходится решать численно для определения . Существуют точные аналитические решения для определённых значений , в частности для . Для между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением , где .
Для данного решения профиль плотности задаётся выражением
.
Полную массу модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до .
Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния , то есть
Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид , где — постоянная Больцмана, — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:
Точные решения
В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы .
n = 0
Если , уравнение имеет вид
Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:
Поделим обе части на , проинтегрируем:
Граничные условия и предполагают, что постоянные интегрирования равны и . Следовательно,
n = 1
Если , уравнение можно представить в виде
Предположим, что решение можно представить в виде ряда
В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:
Данное соотношение можно решить, получив общее решение:
Граничное условие для физической политропы требует, чтобы при . Тогда , что даёт решение в виде
n = 5
Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:
Для получим
Дифференцируем по ξ:
После упрощения получаем
Таким образом, уравнение имеет решение
при . Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.
Численные решения
В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,
Здесь представляет собой безразмерную массу, определяемую как . Соответствующими начальными условиями являются и . Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.
Гомологические переменные
Гомологически инвариантное уравнение
Известно, что если является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и является решением.[2] Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.
Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:
и
После дифференцирования логарифмов данных переменных по получим выражения
и
.
Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от , после чего получим выражение
являющееся уравнением первого порядка.
Топология гомологически инвариантного уравнения
Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений
и
Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где ) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.[3]