Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Уравнение Лейна — Эмдена

Из Википедии — свободной энциклопедии

Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена.[1] Уравнение имеет вид

где — безразмерный радиус, связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением для центральной плотности . Показатель является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

где и — давление и плотность, — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: и . Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом . Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.

Применение

В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.

Вывод уравнения

Из условия гидростатического равновесия

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

где является функцией . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

где также является функцией . Повторное дифференцирование приводит к выражению

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на и переносим слагаемые с производными в левой части:

Делим обе части на , при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на и ,то равенство примет вид

Выполним подстановку , где

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,

Из уравнения Пуассона

Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.

Решения

Для заданного значения индекса политропы обозначим решение уравнения как . В общем случае уравнение приходится решать численно для определения . Существуют точные аналитические решения для определённых значений , в частности для . Для между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением , где .

Для данного решения профиль плотности задаётся выражением

.

Полную массу модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до .

Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния , то есть

Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид , где — постоянная Больцмана, — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:

Точные решения

В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы .

n = 0

Если , уравнение имеет вид

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

Поделим обе части на , проинтегрируем:

Граничные условия и предполагают, что постоянные интегрирования равны и . Следовательно,

n = 1

Если , уравнение можно представить в виде

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы при . Тогда , что даёт решение в виде

n = 5

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

Для получим

Дифференцируем по ξ:

После упрощения получаем

Таким образом, уравнение имеет решение

при . Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.

Численные решения

В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

Здесь представляет собой безразмерную массу, определяемую как . Соответствующими начальными условиями являются и . Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.

Гомологические переменные

Гомологически инвариантное уравнение

Известно, что если является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и является решением.[2] Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

и

После дифференцирования логарифмов данных переменных по получим выражения

и

.

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от , после чего получим выражение

являющееся уравнением первого порядка.

Топология гомологически инвариантного уравнения

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

и

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где ) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.[3]

Литература

Horedt, Georg P. Polytropes – Applications in Astrophysics and Related Fields (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — ISBN 978-1-4020-2350-7.

Примечания

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 10 декабря 2022 в 00:11.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).