Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Уравнение Коши — Эйлера

Из Википедии — свободной энциклопедии

В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.

Уравнение порядка n

Общий вид уравнения :

.

Его частный случай :

.

Подстановка

Подстановка вида то есть приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что , и .
В соответствии с этим:



откуда



таким образом



Вычислим очередную производную сложной функции

,

что приводит к

.

и далее





что, аналогично, приводит к



Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n

Пример

Дано неоднородное уравнение

.

Определив подстановку , приходим к уравнению

.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

,

решение которого имеет вид



или в терминах



Уравнение второго порядка

Общий вид уравнения :

.

Его частный случай :

.

Подстановкой то есть
или, соответственно,

то есть

приводится к виду линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

.

или, соответственно,

.

Пример

Дано неоднородное уравнение

.

Определив подстановку (), приходим к уравнению

.

После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

,

решение которого имеет вид



или в терминах



Ещё один способ решения однородного уравнения второго порядка

Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:

.

Его решениями являются функции вида:

,

где  — корни характеристического уравнения

,

которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами, полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут и

Пример

Дано однородное уравнение

.

Характеристическое уравнение которого имеет вид

,

с решениями , .
Тогда общее решение однородного уравнения



Эта страница в последний раз была отредактирована 26 апреля 2020 в 17:03.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).