Уравнение Дирака для графена

Квазичастицы в графене обладают линейным законом дисперсии вблизи дираковских точек и их свойства полностью описываются уравнением Дирака^[1]. Сами дираковские точки находятся на краях зоны Бриллюэна, где электроны обладают большим волновым вектором. Если пренебречь процессами переброса между долинами, то этот большой вектор никак не влияет на транспорт в низкоэнергетическом приближении, поэтому волновой вектор, фигурирующий в уравнении Дирака, отсчитывают от дираковских точек и уравнение Дирака записывают для разных долин отдельно.

Вывод

Зонная структура

Если учесть только вклад ближайших соседей в формирование энергетических зон, то гамильтониан в приближении сильной связи для гексагональной кристаллической решётки примет вид

${\displaystyle H=-t\sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})-t\sum _{i\in \Lambda _{B}}\sum _{j=1}^{3}b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})a({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {v}}_{j}),\qquad (1.1)}$

где ${\displaystyle t}$ — интеграл перекрытия между волновыми функциями ближайших соседей, который определяет также вероятность перехода («прыжка») между соседними атомами (атомами из разных подрешёток), операторы ${\displaystyle a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})}$ и ${\displaystyle b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})}$ операторы рождения, действующие на треугольных подрешётках кристалла ${\displaystyle \Lambda _{A}}$ и ${\displaystyle \Lambda _{B}}$ соответственно, ${\displaystyle a({\textbf {r}}_{i})}$ и ${\displaystyle b({\textbf {r}}_{i})}$ — операторы уничтожения. Они удовлетворяют обычным антикоммутационным соотношениям для фермионов:

${\displaystyle [a({\textbf {r}}_{i}),a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i^{'}})]_{+}=[b({\textbf {r}}_{i}),b^{\dagger }({\textbf {r}}_{i^{'}})]_{+}=\delta _{ii^{'}}.\qquad (1.2)}$

Шесть векторов ${\displaystyle {\textbf {u}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}}$ указывают на ближайшие узлы от выбранного центрального атома и задаются соотношениями

${\displaystyle {\textbf {u}}_{1}=(-d,0),\,{\textbf {u}}_{2}=\left({\frac {1}{2}}d,{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\,{\textbf {u}}_{3}=\left({\frac {1}{2}}d,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\qquad (1.3)}$

${\displaystyle {\textbf {v}}_{1}=(d,0),\,{\textbf {v}}_{2}=\left(-{\frac {1}{2}}d,-{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right),\,{\textbf {v}}_{3}=\left(-{\frac {1}{2}}d,{\frac {\sqrt {3}}{2}}d\right).\qquad (1.4)}$

Фурье преобразование операторов рождения и уничтожения

${\displaystyle a({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {a}}({\textbf {k}}),b({\textbf {r}}_{i})=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}),\qquad (1.5)}$

где интегрирование по волновым векторам ведётся из первой зоны Бриллюэна, позволяет записать гамильтониан в виде

${\displaystyle H=\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\textbf {k}}){\tilde {H}}{\tilde {\psi }}({\textbf {k}}),\qquad (1.6)}$

где приняты следующие обозначения:

${\displaystyle {\tilde {\psi }}({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}({\textbf {k}}),{\tilde {b}}({\textbf {k}})\right)^{T},\,{\tilde {\psi }}^{\dagger }({\textbf {k}})=\left({\tilde {a}}^{\dagger }({\textbf {k}}),{\tilde {b}}^{\dagger }({\textbf {k}})\right),\qquad (1.7)}$

и

${\displaystyle {\tilde {H}}=\left({\begin{array}{cc}0&-t\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}\\-t\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{j}}&0\\\end{array}}\right).\qquad (1.8)}$

Выражение (1.6) можно получить если подставить (1.5) в (1.1). Рассмотрим сумму

${\displaystyle \sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}a^{\dagger }({\textbf {r}}_{i})b({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j}),\qquad (1.9)}$

которую, использовав соотношения (1.5) можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{i\in \Lambda _{A}}\sum _{j=1}^{3}\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k^{'}}{(2\pi )^{2}}}e^{i{\textbf {k}}^{'}({\textbf {r}}_{i}+{\textbf {u}}_{j})}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{'}),\qquad (1.10)}$

или

${\displaystyle \int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k^{'}}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i\in \Lambda _{A}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {r}}_{i}}\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {u}}_{j}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}^{'}).\qquad (1.11)}$

Используя соотношение

${\displaystyle \sum _{i\in \Lambda _{A}}e^{-i{\textbf {k}}{\textbf {r}}_{i}+i{\textbf {k}}^{'}{\textbf {r}}_{i}}=(2\pi )^{2}\delta \left({\textbf {k}}^{'}-{\textbf {k}}\right),\qquad (1.12)}$

получим после интегрирования по ${\displaystyle {\textbf {k}}^{'}}$ выражение

${\displaystyle \int \limits _{BZ}{\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}{\tilde {a\dagger }}({\textbf {k}})\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}{\tilde {b}}({\textbf {k}}).\qquad (1.13)}$

Аналогичное преобразование второй суммы в гамильтониане (1.1) приводит к искомому результату (1.6).

Собственные значения гамильтониана (1.8) принимают значения

${\displaystyle E=\pm t{\sqrt {\sum _{j=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {u}}_{j}}\sum _{j^{'}=1}^{3}e^{i{\textbf {k}}{\textbf {v}}_{j^{'}}}}}=\pm t{\sqrt {\left(e^{-ik_{x}d}+2e^{ik_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)\left(e^{ik_{x}d}+2e^{-ik_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)}}=}$

${\displaystyle \pm t{\sqrt {\left(1+2e^{i3k_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)\left(1+2e^{-i3k_{x}d/2}\cos {{\frac {\sqrt {3}}{2}}dk_{y}}\right)}}=\pm t{\sqrt {1+4\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}k_{y}d\right)\left[\cos \left({\frac {3}{2}}k_{x}d\right)+\cos \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}k_{y}d\right)\right]}},\qquad (1.14)}$

которые определяют зонную структуру графена.^[2]

Низкоэнергетическое приближение

Зоны (1.14) с положительной энергией (электронов) и с отрицательной энергией (дырок) касаются в шести точках, называемые дираковскими точками, поскольку вблизи них энергетический спектр приобретает линейную зависимость от волнового вектора. Координаты этих точек равны

${\displaystyle \left(0,{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(0,-{\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left({\frac {2\pi }{3d}},-{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right),\,\left(-{\frac {2\pi }{3d}},{\frac {-2\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.1)}$

Две независимые долины можно выбрать так, что вершины валентных зон будут находиться в дираковских точах с координатами

${\displaystyle {\textbf {K}}^{\pm }=\left(0,\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}\right).\qquad (2.2)}$

Рассмотрим недиагональный элемент ${\displaystyle {\tilde {H}}_{12}}$ гамильтониана (1.8). Разложим его вблизи дираковских точек (2.2) по малому параметру d

${\displaystyle \lim _{d\rightarrow 0}d^{-1}{\tilde {H}}_{12}|_{{\textbf {k}}={\textbf {K}}^{\pm }+{\boldsymbol {\kappa }}}=-t\lim _{d\rightarrow 0}d^{-1}\left(e^{-i\kappa _{x}d}+2e^{i\kappa _{x}d/2}\cos {\frac {{\sqrt {3}}d}{2}}\left(\pm {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}d}}+\kappa _{y}\right)\right)={\frac {3t}{2}}(i\kappa _{x}\pm \kappa _{y}).\qquad (2.3)}$

Для ${\displaystyle {\tilde {H}}_{21}}$ разложение вычисляется аналогично и в итоге можно записать гамильтониан для квазичастиц вблизи дираковских точек в виде

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}H^{+}&0\\0&H^{-}\\\end{array}}\right)=\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\kappa _{x}+\alpha ^{2}\kappa _{y}),\qquad (2.4)}$

где фермиевская скорость ${\displaystyle v_{F}=3td\hbar ^{-1}/2}$ и

${\displaystyle \alpha ^{1}=-\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{2}&0\\0&\sigma ^{2}\\\end{array}}\right),\,\alpha ^{2}=\left({\begin{array}{cc}\sigma ^{1}&0\\0&-\sigma ^{1}\\\end{array}}\right).\qquad (2.5)}$

Здесь ${\displaystyle \sigma ^{1}}$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ — матрицы Паули.

Если теперь перейти в координатное представление сделав фурье преобразование гамильтониана (2.4), то придём к гамильтониану в уравнении Дирака для квазичастиц в графене

${\displaystyle H=-i\hbar v_{F}(\alpha ^{1}\partial _{x}+\alpha ^{2}\partial _{y}).\qquad (2.6)}$

Решением уравнения Дирака для графена ${\displaystyle H\psi =E\psi }$ будет четырёхкомпонентный столбец вида

${\displaystyle \psi =(\psi _{A}^{+},\psi _{B}^{+},\psi _{A}^{-},\psi _{B}^{-})^{T},\qquad (2.7)}$

где индексы ^{${\displaystyle A}$} и ^{${\displaystyle B}$} соответствуют двум подрешёткам кристалла, а знаки «+» и «-» обозначают неэквивалентные дираковские точки k-пространстве.^[2]

Произвольный поворот системы координат

Поскольку закон дисперсии не должен зависеть в низкоэнергетическом приближении от ориентации кристаллической решётки относительно системы координат, а уравнение Дирака для графена не обладает таким свойством, то возникает вопрос об общем виде уравнения Дирака при повороте системы координат. Ясно, что единственное различие между уравнениями Дирака в заданной системе координат и повёрнутой на угол ${\displaystyle \alpha }$ системой координат, при условии сохранения закона дисперсии, заключается в добавке фазовых факторов. Вычисления приводят к гамильтониану для свободных частиц вида^[3]

${\displaystyle H_{\pm }=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&e^{\pm i\alpha }(i\partial _{x}\pm \partial _{y})\\e^{\mp i\alpha }(-i\partial _{x}\pm \partial _{y})&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.1)}$

из которого можно получить все уравнения, которые используются в литературе (при условии выбора противолежащих K точек).

В литературе встречается гамильтониан в виде^[4]

${\displaystyle H_{\pm }=-i\hbar v\left({\begin{array}{cc}0&\pm \partial _{x}-i\partial _{y}\\\pm \partial _{x}+i\partial _{y}&0\\\end{array}}\right),\qquad (3.2)}$

который получается из (3.1) если взять угол ${\displaystyle \alpha =-\pi /2}$.

Решение уравнения Дирака

Рассмотрим гамильтониан для одной долины

${\displaystyle H_{+}=-i\hbar v{\begin{pmatrix}0&i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\\-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}&0\end{pmatrix}}.\qquad (4.1)}$

Волновая функция представляется в виде спинора состоящего из двух компонентов

${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\phi \\\chi \end{pmatrix}}.\qquad (4.2)}$

Эта функция удовлетворяет следующему уравнению для свободных частиц

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-i\hbar v\left(i{\frac {\partial \chi }{\partial x}}+{\frac {\partial \chi }{\partial y}}\right)=E\phi &\\-i\hbar v\left(-i{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\right)=E\chi &\end{matrix}}\right.\qquad (4.3)}$

Подставляя второе уравнение в первое получим волновое уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}=-{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}v^{2}}}\phi ,\qquad (4.4)}$

решением которого будет плоская волна

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.5)}$

Собственные значение имеют вид непрерывного линейного спектра

${\displaystyle E=\pm \hbar vk_{F}=\pm \hbar v{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}.\qquad (4.6)}$

Вторую компоненту волновой функции легко найти подставив найденное решение во второе уравнение (4.3)

${\displaystyle \chi =-i{\frac {\hbar v\left(k_{x}+ik_{y}\right)}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}=-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.7)}$

Поэтому волновая функция для ${\displaystyle K^{+}}$ долины запишется в виде

${\displaystyle \Psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-ie^{i\theta }{\frac {\hbar vk_{F}}{E}}\end{pmatrix}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}.\qquad (4.8)}$

Примечания

Литература

• Лозовик Ю. Е. , Меркулова С.П., Соколик А.А. Коллективные электронные явления в графене // УФН. — 2008. — Т. 178, № 7. — С. 757–776.

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 декабря 2023 в 10:20.