Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Упорядоченное полеалгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Определение

Пусть алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами:

  1. Рефлексивность: .
  2. Транзитивность: если и , то .
  3. Антисимметричность: если и , то .
  4. Линейность: все элементы сравнимы между собой, то есть либо , либо .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

  1. Если , то для любого z: .
  2. Если и , то .

Если все 6 аксиом выполнены, то поле называется упорядоченным.

Связанные определения

  • Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
Отношение больше или равно: означает, что .
Отношение больше: означает, что и .
Отношение меньше: означает, что .
  • Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
  • Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину элемента как .

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества , ноль и не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

, если

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Свойства

  • Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если положителен, то отрицателен, и наоборот.
  • В любом упорядоченном поле и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
  • Однотипные неравенства можно складывать:
Если и , то .
  • Неравенства можно умножать на положительные элементы:
Если и , то .

Неединственность порядка

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида , где — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» те числа , для которых . Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены[1].

Место в иерархии алгебраических структур

  • Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
  • Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
  • Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
  • Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
  • Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел ; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей .
  • Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.

Примеры

  • Рациональные числа
  • Вещественные числа
  • Вещественные алгебраические числа
  • Поле вещественных рациональных функций: , где многочлены, . Упорядочим его следующим образом.
    • Пусть Будем считать, что функция , если . Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
    • Из определения вытекает, что многочлен больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) , для которых[3] .
  • Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
  • Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле , порождённое добавлением к полю рациональных чисел числа — одного из комплексных корней многочлена . Данное поле изоморфно вещественному полю , поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]

Примеры неупорядочиваемых полей

Литература

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
  • Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 19 июня 2021 в 12:43.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).