Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Упорядоченная группа

Из Википедии — свободной энциклопедии

Упорядоченная группагруппа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Далее операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом . Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Определение

Пусть группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами:

  1. Рефлексивность: .
  2. Транзитивность: если и , то .
  3. Антисимметричность: если и , то .
  4. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых либо , либо .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

  1. Если , то для любого z справедливы соотношения:

Если все пять аксиом выполнены, то группа называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа[1].

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: означает, что .
Отношение больше: означает, что и .
Отношение меньше: означает, что .

Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.

Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.

Подгруппа упорядоченной группы называется выпуклой, если все элементы , находящиеся между элементами принадлежат Формальная запись: если и то Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

Свойства

Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать[2], например:

Если и то

Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена[3]. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

Архимедовость

Порядок в группе называется архимедовым, если для любых и найдётся такое натуральное что:

Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна[4].

Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент[4].

Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел[4].

Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп[1].

Положительные и отрицательные элементы

Элементы, бо́льшие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если то, прибавив получим, что Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.

Обозначим множество неотрицательных элементов. Тогда то есть множество элементов, противоположных элементам содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств[5][1].

(P1) замкнуто относительно сложения.
(P2) имеет с ровно один общий элемент — ноль группы:
(P3) для любого
(P4)

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в произвольной группе линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

Пусть такое выделено. Определим линейный порядок в следующим образом[5]:

, если (отметим, что из свойства (P3) следует, что если то и даже если группа не коммутативна).

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры[5].

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элементов группы: Здесь функция осуществляет выбор наибольшего значения.

Свойства абсолютной величины[6]:

  • тогда и только тогда, когда
  • Для всех ненулевых и только для них
  • Абсолютные величины противоположных чисел совпадают:
  • Неравенство треугольника:
  • равносильно

Примеры

  • Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
  • Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
  • Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов Определим в ней множество неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу[7].
  • Определим в аддитивной группе всех комплексных чисел множество неотрицательных элементов следующим образом: если либо либо Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком[8]. В ней, например, причём сумма любого количества всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на неравенство мы получим ошибочное неравенство . Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

Примечания

Литература

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..
  • Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972. — 343 с.
  • Линейно упорядоченная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 322.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
  • Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 343 с.
Эта страница в последний раз была отредактирована 1 ноября 2020 в 08:30.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).