Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Трои́чная ло́гика (трёхзначная логика или тернарная логика) — один из видов многозначной логики, предложенный Яном Лукасевичем в 1920 году. Трёхзначная логика — исторически первая многозначная логика. Она является простейшим расширением двузначной логики.

Чёткую математическую троичную логику, в которой имеется три чётких значения (0,1,2), (-1,0,+1), (0,1/2,1) и т. п. часто путают с нечёткой троичной логикой, которая является частным случаем нечёткой логики c тремя значениями, одно, два или все три из которых нечёткие.

Перечень значений нечёткой трёхзначной логики с двумя чёткими и с одним нечётким значением помимо «истинно» и «ложно» включает также третье значение, которое нечётко и трактуется как «не определено» или «неизвестно».

Примерами значений нечёткой трёхзначной логики с одним чётким и с двумя нечёткими значениями являются: («меньше», «равно», «больше»), («уклон влево», «прямо», «уклон вправо») и другие.

Примерами значений нечёткой трёхзначной логики с тремя нечёткими значениями, к которым сводится очень большое количество практических народнохозяйственных задач, являются: («меньше», «равно, в допустимых пределах», «больше»), («уклон влево», «прямо, в допустимых пределах», «уклон вправо»), («холодно», «прохладно», «жарко») и другие.

Алгебраические свойства

Троичная логика, в отличие от двоичной, не булево кольцо и обладает собственным математическим аппаратом. Он состоит из системы аксиом, которые определяют над множеством {«1», «0», «1»} одноместные и двухместные операции, а также выводимые из них свойства.

Для конъюнкции и дизъюнкции в тройной логике сохраняются коммутативный (переместительный), ассоциативный (сочетательный) и дистрибутивный (распределительный) законы.

Несколько свойств образуются благодаря особенности отрицания Лукасевича:

Однако из-за наличия третьего состояния некоторые законы двоичной логики оказываются неверными, для них сформулированы троичные аналоги. Так, вместо закона противоречия стали применять закон несовместности состояний, вместо закона исключённого третьего — закон полноты состояний (закон исключённого четвёртого), вместо неверного закона Блейка—Порецкого применяют трёхчленный закон Блейка—Порецкого.

Физическая реализация

При физической реализации троичным функциям в троичной логике соответствуют троичные логические элементы, в общем случае не обязательно электронные.

Схемы с 3-4-значной логикой дают возможность сократить количество используемых логических и запоминающих элементов, а также межэлементных соединений. Схемы трёхзначной логики легко реализуются на КМОП-технологии. Трёхзначная логика обладает большей выразительностью, чем двухзначная. Например, существует лишь 16 комбинаций входов-выходов двухвходового двоичного вентиля, тогда как у аналогичного троичного вентиля таких комбинаций 19683.[1]

На основе троичных элементов — троичной ферритодиодной ячейки разработки Николая Брусенцова — в 1959 году в вычислительном центре МГУ спроектирована малая ЭВМ «Сетунь», выпущена в 46 экземплярах.

Логики

Логики Клини и Приста

Ниже показаны таблицы истинности для логических операций «Сильной логики неопределённости» (strong logic of indeterminacy) Стивена Клини и «Парадоксальной логики» (logic of paradox, LP) Приста. Обе логики имеют три логических значения — «ложь», «неопределённость» и «истина», которые в логике Клини обозначаются буквами F (false), U (unknown), T (true), а в логике Приста числами -1, 0 и 1.

F: false, U: unknown, T: true
NOT(A)
A ¬ A
F T
U U
T F
AND(A, B)
AB B
F U T
A F F F F
U F U U
T F U T
OR(A, B)
AB B
F U T
A F F U T
U U U T
T T T T
−1: false, 0: unknown, +1: true
NEG(A)
A ¬ A
−1 +1
0 0
+1 −1
MIN(A, B)
AB B
−1 0 +1
A −1 −1 −1 −1
0 −1 0 0
+1 −1 0 +1
MAX(A, B)
AB B
−1 0 +1
A −1 −1 0 +1
0 0 0 +1
+1 +1 +1 +1

Значение U присваивается выражениям, которые реально имеют значение T или F, но в данный момент это значение по каким-то причинам неизвестно, в результате чего возникает неопределённость. Тем не менее, результат логической операции с величиной U может оказаться определённым. Например, поскольку T & F = F и F & F = F, то и U & F = F. В более общем виде: если для некоторой логической операции oper выполняется соотношение
oper(F,F)=oper(F,T), то oper(F,U)=oper(F,F)=oper(F,T);
аналогично, если
oper(T,F)=oper(T,T), то oper(T,U)=oper(T,F)=oper(T,T).

При численном обозначении логических значений (–1, 0, 1) логические операции эквивалентны следующим численным операциям:

Операция импликации в логиках Клини и Приста определяется формулой, аналогичной формуле двоичной логики:

.

Таблицы истинности для неё

IMPK(A, B), OR(¬A, B)
A B B
T U F
A T T U F
U T U U
F T T T
IMPK(A, B), MAX(−A, B)
A B B
+1 0 −1
A +1 +1 0 −1
0 +1 0 0
−1 +1 +1 +1

Это определение отличается от определения импликации, принятого в логике Лукасевича.

Функциональный подход

Назовём функцию функцией трёхзначной логики, если все её переменные принимают значения из множества {0,1,2} и сама функция принимает значения из этого же множества. Примеры функций: max(x,y), min(x,y), x+1 (mod 3). Обозначим множество всех функций трёхзначной логики. Под операцией над функциями будем понимать суперпозицию. Класс функций K из назовём замкнутым, если любая суперпозиция функций из K принадлежит K. Система функций класса K называется полной, если любая функция из K может быть представлена суперпозицией функций этой системы. Полная система называется базисом, если никакая функция из этой системы не может быть представлена суперпозицией остальных функций этой системы. Доказано, что в существует конечный базис (в частности, состоящий из одной функции). Замкнутый класс K называется предполным, если он не совпадает с , но добавление любой функции, ему не принадлежащей, порождает . С.В. Яблонским доказано[2], что в существует 18 предполных классов. Также доказано, что все они имеют конечные базисы, в частности, состоящие из функций, зависящих не более чем от двух переменных[3]. Ю.И.Янов и А.А.Мучник доказали[4], что в существуют классы функций, не имеющие базиса, и классы функций, имеющие бесконечный базис. Отсюда следует, что множество замкнутых классов в имеет мощность континуума. Этим трёхзначная (и любая многозначная) логика существенно отличается от двухзначной, где, как доказано Постом[5], все замкнутые классы имеют конечный базис и множество замкнутых классов счётно.

Использование в базах данных

В некоторых системах управления базами данных используется специальное значение UNKNOWN, которое может быть результатом логической операции, наряду со значениями TRUE и FALSE.

Смысл значения UNKNOWN — «неизвестность», то есть неопределённый результат операции. Значение UNKNOWN может использоваться тогда, когда в применяемой системе разработки программного обеспечения используется специальное значение NULL. Значение UNKNOWN возвращает операцию сравнения, если один или оба из её операндов равны NULL, а также некоторые логические операции, если одним из их операндов является значение UNKNOWN. Условными операторами языков программирования значение UNKNOWN обрабатывается аналогично FALSE, то есть конструкция вида:

 if UNKNOWN then a := 1 else a := 2

приведёт к присваиванию переменной a значения 2.

Правила операций с UNKNOWN

  • Любая операция сравнения любого значения с NULL или UNKNOWN даёт в результате UNKNOWN.
  • not UNKNOWN = UNKNOWN
  • TRUE and UNKNOWN = UNKNOWN
  • FALSE and UNKNOWN = FALSE
  • TRUE or UNKNOWN = TRUE
  • FALSE or UNKNOWN = UNKNOWN
  • TRUE xor UNKNOWN = UNKNOWN
  • FALSE xor UNKNOWN = UNKNOWN

См. также

Примечания

  1. Толковый словарь по вычислительным системам, 1990, M.235.
  2. Яблонский С.И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 51, 1958
  3. Гниденко В.М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962
  4. Янов Ю.И., Мучник А.А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, №1, 1959
  5. Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, №1, 1941

Литература

  • D. C. Rine (ed.), Computer Science and Multiple-Valued Logic. Theory and Applications. Elsevier, 1977, 548p. ISBN 9780720404067
  • Васильев Н. И. Воображаемая логика. — М.: Наука, 1989.
  • Карпенко А. С. Многозначные логики // Логика и компьютер. Вып. №4. — М.: Наука, 1997.
  • Кэррол Льюис. Символическая логика // Льюис Кэррол. История с узелками. — М.: Мир, 1973.
  • Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: Иностранная литература, 1959.
  • Слинин Я. А. Современная модальная логика. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976.
  • Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М.: Наука, 1967.
  • Гетманова А. Д. Учебник по логике. — М.: Владос, 1995. — С. 259—268. — 303 с. — ISBN 5-87065-009-7.
  • Толковый словарь по вычислительным системам / Под ред. В. Иллингуорта и др.. — М.: Машиностроение, 1990. — 560 с. — ISBN 5-217-00617-X.
  • Яблонский С.И. Функциональные построения в k-значной логике, Труды Математического института им. В.А.Стеклова, 51, 1958
  • Янов Ю.И., Мучник А.А., О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР, 127, №1, 1959
  • Гниденко В.М., Нахождение порядков предполных классов в трёхзначной логике, сб. Проблемы кибернетики, вып 8, М., 1962
  • Post E.L. Two-valued iterative systems, Аnn Math. Studies, 5, №1, 1941
  • Гектор Гарсиа-Молина, Джеффри Д. Ульман, Дженнифер Уидом «Системы баз данных. Полный курс»

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 3 августа 2020 в 07:46.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).