Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье , не использующих комплексные числа .
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
Просмотров: 30 790
1 637
31 515
25 876
29 515
Что такое ряды Фурье и с чем их едят - bezbotvy
71 Тригонометрические ряды Фурье
Разложите функцию в ряд Фурье. Студент. Видео урок
Математика - быстрое преобразование Фурье и вейвлет-преобразование. Часть 1.
Содержание Определение Синус-преобразование Фурье Синус-преобразование Фурье
f
^
s
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}}
F
s
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
2
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
sin
2
π
ν
t
d
t
.
{\displaystyle 2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.}
где
t
{\displaystyle t}
ν
{\displaystyle \nu }
Функция
f
^
s
(
ν
)
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\nu )}
нечётна по
ν
{\displaystyle \nu }
f
^
s
(
ν
)
=
−
f
^
s
(
−
ν
)
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
Косинус-преобразование Фурье Косинус-преобразование Фурье
f
^
c
{\displaystyle {\hat {f}}^{c}}
F
c
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
2
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
2
π
ν
t
d
t
.
{\displaystyle 2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.}
где
t
{\displaystyle t}
ν
{\displaystyle \nu }
Функция
f
^
c
(
ν
)
{\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\nu )}
чётна по
ν
{\displaystyle \nu }
f
^
c
(
ν
)
=
f
^
c
(
−
ν
)
{\displaystyle {\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )}
ν
{\displaystyle \nu }
Обратное синус- и косинус-преобразование Фурье Изначальная функция
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
(
t
)
=
∫
0
∞
f
^
c
cos
(
2
π
ν
t
)
d
ν
+
∫
0
∞
f
^
s
sin
(
2
π
ν
t
)
d
ν
.
{\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .}
Используя формулу сложения для косинуса , получим, что
π
2
(
f
(
x
+
0
)
+
f
(
x
−
0
)
)
=
∫
0
∞
∫
−
∞
∞
cos
ω
(
t
−
x
)
f
(
t
)
d
t
d
ω
,
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,}
где
f
(
x
+
0
)
{\displaystyle f(x+0)}
f
(
x
−
0
)
{\displaystyle f(x-0)}
право- и левосторонние пределы соответственно. Если функция
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
Расширение на комплексные числа Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде
f
^
(
ν
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
2
π
i
ν
t
d
t
.
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.}
Используя формулу Эйлера , получим
f
^
(
ν
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
(
cos
2
π
ν
t
−
i
sin
2
π
ν
t
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
2
π
ν
t
d
t
−
i
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
sin
2
π
ν
t
d
t
=
1
2
f
^
c
(
ν
)
−
i
2
f
^
s
(
ν
)
.
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).}
См. также Ссылки Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis , Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211
Эта страница в последний раз была отредактирована 29 декабря 2014 в 06:54.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Эта страница в последний раз была отредактирована 29 декабря 2014 в 06:54.