Тождественное отображение

Тожде́ственное отображе́ние, тождественность или идентичность в математике и логике — функция, переводящая аргумент в себя. Обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathrm {id} }$ или ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$. При этом ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$ для любого ${\displaystyle x\in X}$.

Логическим результатом функции идентичности является тавтология. Идентичность является обратной функцией отрицания.

Свойства

• Для произвольной функции ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ её композиция с тождественным отображением не отличается от неё самой: 

• ${\displaystyle F\circ \mathrm {id} _{X}=F}$,
• ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F}$.

В частности, ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ является нейтральным элементом моноида, образованного отображениями из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$, а также нейтральным элементом симметрической группы перестановок множества ${\displaystyle X}$.

• Композиция биекции ${\displaystyle F\colon X\to Y}$ со своей обратной функцией ${\displaystyle F^{-1}}$ даёт тождественные отображения:
  • ${\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{X}}$,
  • ${\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{Y}}$.

См. также

• Тавтология (логика)
• Отрицание
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Таблица истинности

Эта страница в последний раз была отредактирована 15 июня 2023 в 20:23.