Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Технологическое множество

Из Википедии — свободной энциклопедии

Технологическое множество — понятие, используемое в микроэкономике, формализующее множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции.

Определение

Пусть в экономике имеется благ. В процессе производства из них благ расходуются. Обозначим вектор этих благ (затрат) (размерность вектора ). Другие благ выпускаются в процессе производства (размерность вектора — ). Обозначим вектор этих благ . Тогда вектор (размерность — ) называется вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков и составляют технологическое множество. Фактически это некоторое подмножество пространства .

Свойства

  • Непустота: технологическое множество не пусто. Непустота означает принципиальную возможность производства.
  • Допустимость бездеятельности: нулевой вектор принадлежит технологическому множеству. Это формальное свойство означает, что нулевой выпуск при нулевых затратах является допустимым.
  • Замкнутость: технологическое множество содержит свою границу и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистых выпусков тоже принадлежит технологическому множеству.
  • Свобода расходования: если данный вектор принадлежит технологическому множеству, то ему принадлежит и любой вектор . Это означает, что формально тот же объем выпуска можно производить и большими затратами.
  • Отсутствие «рога изобилия»: из неотрицательных векторов чистого выпуска технологическому множеству принадлежит только нулевой вектор. Это означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы ненулевые затраты.
  • Необратимость: для любого допустимого вектора , противоположный вектор не принадлежит технологическому множеству. То есть из выпущенной продукции невозможно произвести ресурсы в том же количестве, в котором они используются для производства этой продукции.
  • Аддитивность : сумма двух допустимых векторов также является допустимым вектором. То есть допускается комбинирование технологий.
  • Свойства, связанные с отдачей от масштаба производства:
    • Невозрастающая отдача от масштаба: для любого если z принадлежит технологическому множеству, то также принадлежит технологическому множеству.
    • Неубывающая отдача от масштаба: для любого если z принадлежит технологическому множеству, то также принадлежит технологическому множеству.
    • Постоянная отдача от масштаба: одновременное выполнение двух предыдущих свойств, то есть для любого положительного если принадлежит технологическому множеству, то также принадлежит технологическому множеству. Свойство постоянной отдачи означает, что технологическое множество является конусом.

8. Выпуклость: для любых двух допустимых векторов допустимыми являются также любые векторы , где . Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии. Оно, в частности, выполнено, если технологическое множество обладает свойством аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба. Более того, в этому случае технологическое множество является выпуклым конусом.

Эффективная граница технологического множества

Допустимую технологию называют эффективной, если не существует другой, отличной от неё, допустимой технологии . Множество эффективных технологий образуют эффективную границу технологического множества.

Если выполнено условие свободы расходования и замкнутости технологического множества, то невозможно бесконечно увеличивать производство одного блага без уменьшения выпуска других. В этом случае для любой допустимой технологии есть эффективная технология . В таком случае, вместо всего технологического множества можно использовать только его эффективную границу. Обычно эффективную границу можно задать некоторой производственной функцией.

Производственная функция

Рассмотрим однопродуктовые технологии , где  — вектор размерности , а  — вектор затрат размерности . Рассмотрим множество , включающее в себя все возможные векторы затрат , таких, что для каждого существует , такой что векторы чистых выпусков принадлежат к технологическому множеству.

Числовая функция на называется производственной функцией, если для каждого данного вектора затрат значение определяет максимальное значение допустимого выпуска (такого, что вектор чистого выпуска (-x, y) принадлежит технологическому множеству).

Любая точка эффективной границы технологического множества представима в виде , а обратное верно в том случае, если является возрастающей функцией (в таком случае  — уравнение эффективной границы). Если технологическое множество обладает свойством свободы расходования и допускает описание производственной функцией, то технологическое множество определяется на основе неравенства .

Для того, чтобы технологическое множество можно было бы задавать с помощью производственной функции достаточно, чтобы для любого множество допустимых выпусков при данных затратах , являлось ограниченным и замкнутым. В частности, это условие выполнено, если для технологического множества выполнены свойства замкнутости, невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Если технологическое множество выпукло, то производственная функция вогнута и непрерывна на внутренности множества . Если выполнено условие свободы расходования, то является неубывающей функцией (в этом случае также из вогнутости функции следует выпуклость технологического множества). Наконец, если выполнены одновременно и условие отсутствия рога изобилия и допустимость бездеятельности, то .

Если производственная функция является дифференцируемой, то можно определить локальную эластичность масштаба следующими эквивалентными способами:

где  — вектор-градиент производственной функции.

Определив таким образом эластичность масштаба можно показать, что если технологическое множество обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то , если убывающей отдачи от масштаба, то , если возрастающей отдачи, то .

Задача производителя

Если задан вектор цен , то произведение представляет собой прибыль производителя. Задача производителя сводится к поиску такого вектора , чтобы при заданном векторе цен прибыль была максимальна. Множество цен благ, при которых эта задача имеет решение, обозначим . Можно показать, что при непустом, замкнутом технологическом множестве с невозрастающей отдачей от масштаба задача производителя имеет решение на множестве цен , дающих отрицательную прибыль на так называемых рецессивных направлениях (это векторы технологического множества, для которых при любом неотрицательном векторы также принадлежат технологическому множеству). В частности, если множество рецессивных направлений совпадает с , то решение существует при любых положительных ценах.

Функция прибыли определяется как , где  — решение задачи производителя при данных ценах (это так называемая функция предложения, возможно многозначная). Функция прибыли является положительно однородной (первой степени), то есть и непрерывной на внутренности . Если технологическое множество строго выпукло, то функция прибыли является к тому же непрерывно дифференцируемой. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли выпукла на любом выпуклом подмножестве допустимых цен .

Функция (отображение) предложения является положительно однородной нулевой степени. Если технологическое множество строго выпукло, то функция предложения является однозначной на P и непрерывной на внутренности . Если функция предложения дважды дифференцируема, то матрица Якоби этой функции симметрична и неотрицательно определена.

Если технологическое множество представлено посредством производственной функции, то прибыль определяется как , где  — вектор цен на факторы производства, в данном случае цена выпускаемой продукции. Тогда для любого внутреннего решения (то есть принадлежащего внутренности ) задачи производителя справедливо равенство предельного продукта каждого фактора его относительной цене, то есть в векторной форме .

Если задана функция прибыли , являющаяся дважды непрерывно дифференцируемой, выпуклой и положительно однородной (первой степени) функцией, то можно восстановить технологическое множество, как множество, содержащее при любом неотрицательном векторе цен векторы чистых выпусков , удовлетворяющих неравенству . Можно также показать, что если функция предложения является положительно однородной нулевой степени и матрица её первых производных непрерывна, симметрична и неотрицательно определена, то соответствующая функция прибыли удовлетворяет вышеуказанным требованиям (верно также и обратное утверждение).

См. также

Эта страница в последний раз была отредактирована 21 октября 2019 в 15:37.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).