Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект категории такой, что для любого объекта существует единственный морфизм .

Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект  — терминальный, если для любого объекта существует единственный морфизм .

Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.

Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.

Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если и  — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.

Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы , то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.

Примеры

В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).

В категории колец кольцо целых чисел является начальным объектом, и нулевое кольцо с  — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики имеется начальный объект — поле из элементов.

В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория с единственным объектом и морфизмом.

Любое топологическое пространство можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что , существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории,  — терминальный. Для такой категория топологического пространства и произвольной малой категории все контравариантные функторы из в с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на с коэффициентами в . Если имеет начальный объект , то постоянный функтор, отображающий в , является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.

В категории схем спектр  — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.

Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории из единственного объекта и (единственного) функтора начальный объект категории  — это универсальная стрелка из в . Функтор, отправляющий в  — левый сопряженный для . Соответственно, терминальный объект категории  — универсальная стрелка из в , а функтор, отправляющий в  — правый сопряженный для . Обратно, универсальная стрелка из в функтор может быть определена как начальный объект в категории запятой . Двойственно, универсальный морфизм из в  — терминальный объект в .

Литература

  • Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
Эта страница в последний раз была отредактирована 7 января 2023 в 00:07.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).