Начальный объект (отталкивающий объект, инициальный объект) — объект категории такой, что для любого объекта существует единственный морфизм .
Двойственное понятие — терминальный объект (притягивающий объект): объект — терминальный, если для любого объекта существует единственный морфизм .
Если объект одновременно начальный и терминальный, его называют нулевым объектом.
Пустое множество — это единственный начальный объект в категории множеств, одноэлементные множества (синглетоны) — терминальные объекты, нулевых объектов нет. В категории множеств с отмеченной точкой синглетоны являются нулевыми объектами, так же, как и в категории топологических пространств с отмеченной точкой.
Начальный и терминальный объекты существуют не в любой категории, но если они существуют, то определены однозначно: если и — начальные объекты, между ними существует изоморфизм, причём единственный.
Терминальные объекты являются пределами пустой диаграммы , то есть пустыми произведениями. Аналогично, начальные объекты являются копределами и пустыми копроизведениями. Из этого следует, что функтор, сохраняющий пределы (копределы), сохраняет терминальные (начальные) объекты соответственно.
Примеры
В категории групп, так же, как и в категориях абелевых групп, модулей над кольцом и векторных пространств существует нулевой объект (в связи с чем и появился термин «нулевой объект»).
В категории колец кольцо целых чисел является начальным объектом, и нулевое кольцо с — терминальным объектом. В категории полей не существует начальных и терминальных элементов. Однако в полной подкатегории полей характеристики имеется начальный объект — поле из элементов.
В категории всех малых категорий (с функторами как морфизмами) начальный объект — пустая категория, а терминальный — категория с единственным объектом и морфизмом.
Любое топологическое пространство можно рассматривать как категорию, объекты которой — открытые множества и между любыми двумя открытыми множествами, такими, что , существует единственный морфизм. Пустое множество — начальный объект этой категории, — терминальный. Для такой категория топологического пространства и произвольной малой категории все контравариантные функторы из в с естественными преобразованиями образуют категорию, называемую категорией предпучков на с коэффициентами в . Если имеет начальный объект , то постоянный функтор, отображающий в , является начальным объектом категории предпучков, двойственное утверждение также верно.
В категории схем спектр — терминальный объект, и пустая схема — начальный объект.
Начальные и терминальные объекты также можно характеризовать при помощи универсальных стрелок и сопряжённых функторов. Для категории из единственного объекта и (единственного) функтора начальный объект категории — это универсальная стрелка из в . Функтор, отправляющий в — левый сопряженный для . Соответственно, терминальный объект категории — универсальная стрелка из в , а функтор, отправляющий в — правый сопряженный для . Обратно, универсальная стрелка из в функтор может быть определена как начальный объект в категории запятой . Двойственно, универсальный морфизм из в — терминальный объект в .
Литература
- Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.