Теплоёмкость идеального газа

Теплоёмкость идеального газа — отношение количества теплоты, сообщённой газу ${\displaystyle \delta Q}$, к изменению температуры ${\displaystyle dT}$, которое при этом произошло ${\displaystyle C={\frac {\delta Q}{dT}}}$ ^[1].

Удельная и молярная теплоёмкость

Молярная теплоёмкость — теплоёмкость 1 моля вещества ^[2]:

${\displaystyle C_{M}={\frac {C}{\nu }}={\frac {1}{\nu }}{\frac {\delta Q}{\Delta T}},}$

где ${\displaystyle \nu =m/M,}$ ${\displaystyle m}$ — масса, ${\displaystyle M}$ — молярная масса вещества.

Теплоёмкость единичной массы вещества называется удельной теплоёмкостью и, в системе СИ, измеряется в Дж/(кг·К)^[1].

Формула расчёта удельной теплоёмкости^[1][2]:

${\displaystyle c={\frac {C_{M}}{M}}={\frac {\delta Q}{mdT}},}$

где c — удельная теплоёмкость, m — масса нагреваемого (охлаждающегося) вещества.

Теплоёмкость идеального газа в изопроцессах

Адиабатический

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, то есть ${\displaystyle dQ=0}$. Однако, объём, давление и температура меняются, то есть ${\displaystyle dT\neq 0}$^[3].

Следовательно, теплоёмкость идеального газа в адиабатическом процессе равна нулю: ${\displaystyle C={0 \over dT}=0}$.

Изотермический

В изотермическом процессе постоянна температура, то есть ${\displaystyle dT=0}$. При изменении объёма газу передаётся (или отбирается) некоторое количество тепла^[3]. Следовательно, теплоёмкость идеального газа равна плюс-минус бесконечности: ${\displaystyle C\to \pm \infty }$

Изохорный

В изохорном процессе постоянен объём, то есть ${\displaystyle \delta V=0}$ и, следовательно газ не совершает работы. Первое Начало Термодинамики для изохорного процесса имеет вид^[1]:

${\displaystyle dU=\delta Q=\nu C_{V}dT.\qquad (1)}$

А для идеального газа

${\displaystyle dU={\frac {i}{2}}\nu R\Delta T.}$

Таким образом,

${\displaystyle C_{V}={\frac {i}{2}}R,}$

где ${\displaystyle i}$ — число степеней свободы частиц газа.

Другая формула:

${\displaystyle C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}},}$

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты, ${\displaystyle R}$ — газовая постоянная газа.

Изобарный

Молярная теплоёмкость при постоянном давлении обозначается как ${\displaystyle C_{p}}$. В идеальном газе она связана с теплоёмкостью при постоянном объёме соотношением Майера ${\displaystyle C_{p}=C_{v}+R}$^[1]. Уравнение Майера вытекает из первого начала термодинамики^[4]:

${\displaystyle \delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (2)}$.

В рассматриваемом случае, согласно определению теплоёмкости:

${\displaystyle \delta Q=C_{p}\mathrm {d} T,}$

Учитываем, что работа газа равна ^[4]:

${\displaystyle \delta A=\mathrm {d} (pV)=nR\mathrm {d} T\qquad =p\mathrm {d} V\qquad +V\mathrm {d} p\qquad =p\mathrm {d} V\qquad ,(V\mathrm {d} p\qquad =0)(3)}$

Согласно уравнению Менделеева — Клапейрона для одного моля газа^[1]:

${\displaystyle p\mathrm {d} V=R\mathrm {d} T.\qquad (4)}$

Подставляя уравнение (4) в (3) получаем:

${\displaystyle \delta A=R\mathrm {d} T\qquad (5)}$

Так как энергия одной молекулы равна ${\displaystyle <e>={\frac {i}{2}}kT}$ (6)^{[Комм 1][5]}, то и внутренняя энергия в целом и при изобарном процессе будет определяться по соотношению (1). Следовательно, подставляя уравнения (1) и (5) в (2) получаем соотношение Майера.

Молекулярно-кинетическая теория позволяет вычислить значения молярной теплоёмкости для классического идеального газа газов через значение универсальной газовой постоянной исходя из уравнения (6) и предположения, что молекулы газа не взаимодействуют между собой^[5]:

• для общего случая ${\displaystyle C_{p}={\frac {i+2}{2}}R,}$
• для одноатомных газов ${\displaystyle C_{p}={\frac {5}{2}}R,}$ то есть около 20.8 Дж/(моль·К);
• для двухатомных газов и многоатомных газов с линейными молекулами^{[Комм 2]} ${\displaystyle C_{p}={\frac {7}{2}}R,}$ то есть около 29.1 Дж/(моль·К);
• для многоатомных газов с нелинейными молекулами^{[Комм 2]} ${\displaystyle C_{p}=4R,}$ то есть около 33.3 Дж/(моль·К).

Теплоёмкости можно также определить исходя из уравнения Майера, если известен показатель адиабаты, который можно измерить экспериментально (например, с помощью измерения скорости звука в газе или используя метод Клемана — Дезорма).

Теплоёмкость реального газа может значительно отклоняться от теплоёмкости идеального газа. Так, при температуре в 25 °С и атмосферном давлении атомарный водород имеет теплоёмкость 2,50R , а атомарный кислород — 2,63R. Также теплоёмкость реального газа зависит от температуры^[5].

См. также

• Идеальный газ
• Первое начало термодинамики
• Теплоёмкость

Комментарии

Примечания

Литература

• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб.—М.— Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Белоконь Н. И. Основные принципы термодинамики. — М.: Недра, 1968. — 110 с.
• Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.

Эта страница в последний раз была отредактирована 31 марта 2024 в 12:40.