Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Отношение порядкабинарное отношение (далее обозначаемое или ) между элементами данного множества, по своим свойствам сходное со свойствами отношения неравенства[⇨].

Множество, все элементы которого сравнимы заданным отношением порядка (то есть для любых либо , либо ), называется линейно упорядоченным, а отношение порядка называется линейным порядком. Если же сравнимы не все неравные элементы, порядок называется частичным, а множество — частично упорядоченным. Различают также строгий порядок , при котором невозможно, и нестрогий в противном случае[1].

Примеры[1].

  • Отношение для вещественных чисел определяет для них нестрогий линейный порядок.
  • Отношение для вещественных чисел определяет для них строгий линейный порядок.
  • Отношение делимости на множестве натуральных чисел: если является делителем Это нестрогий частичный порядок, так как не всякие натуральные числа делятся друг на друга без остатка.
  • Отношение включения на множестве подмножеств заданного множества также определяет нестрогий частичный порядок.
  • Отношение (предок, потомок) на популяции животных является строгим частичным порядком.

Определения

Отношение нестрогого (рефлексивного) частичного порядка () на множестве  — это бинарное отношение, для которого при любых из выполнены следующие условия[2]:

  1. Рефлексивность: .
  2. Антисимметричность: если и , то .
  3. Транзитивность: если  и , то .

Удобно также дополнительно определить для отношения отношение строгого (антирефлексивного) порядка () на том же множестве[1]:

, если и при этом

Свойства строгого отношения отличаются от свойств нестрогого:

  1. Антирефлексивность: ;
  2. Асимметричность: если , то ;
  3. Транзитивность: если  и , то .

2-е свойство не является независимым, оно следует из антирефлексивности и транзитивности. Поэтому отношение является отношением строгого порядка тогда и только тогда, когда оно антирефлексивно и транзитивно.

Множество , на котором введено отношение строгого или нестрогого порядка, называется частично упорядоченным. Если к тому же для любых элементов дополнительно выполняется одно из условий: или то порядок называется линейным, а множество — линейно упорядоченным[2].

История

Знаки и предложил английский учёный Томас Хэрриот в своём сочинении, изданном посмертно в 1631 году[3].

Определение частично упорядоченного множества впервые явно сформулировал Ф. Хаусдорф [4], хотя аналогичные аксиомы порядка рассматривались еще Г. Лейбницем около 1690 года. Определение линейно упорядоченного и вполне упорядоченного множеств впервые дано Г. Кантором[5].

Вариации и обобщения

Если упорядоченное множество образует какую-либо алгебраическую структуру, то обычно требуется, чтобы порядок в этой структуре был согласован с алгебраическими операциями. См. об этом статьи:

Иногда полезно рассматривать отношения, для которых выполняются только первая и третья аксиомы (рефлексивность и транзитивность); такие отношения называются предпорядком или квазипорядком. Если — квазипорядок, то отношение, заданное формулой[6]:

если и

будет отношением эквивалентности. На фактормножестве по этой эквивалентности можно определить нестрогий порядок следующим образом[6]:

если

где — класс эквивалентности, содержащий элемент

См. также

Примечания

  1. 1 2 3 Курош, 1973, с. 16, 20—22.
  2. 1 2 Нечаев, 1975, с. 78.
  3. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 111—112. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  4. Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
  5. Частично упорядоченное множество // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 833—836. — 1248 с.
  6. 1 2 Порядок // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 505. — 1216 с.

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 15 марта 2022 в 04:16.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).