Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии $M$ размерности $n$ заданы положительно ориентированное ограниченное $p$ -мерное подмногообразие $\sigma$ ( $1\leqslant p\leqslant n$ ) и дифференциальная форма $\omega$ степени $p-1$ класса $C^{1}$ . Тогда если граница подмногообразия $\partial \sigma$ положительно ориентирована, то

\int \limits _{\sigma }d\omega =\int \limits _{\partial \sigma }\omega ,

где $d\omega$ обозначает внешний дифференциал формы $\omega$ .

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия $M$ .

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая $l$ (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки $a$ к точке $b$ , в многообразии произвольной размерности. Форма $\omega$ нулевой степени класса $C^{1}$ — это дифференцируемая функция $f$ . Тогда формула Стокса записывается в виде

\int \limits _{l}df=\int \limits _{l}f'\,dx=\int \limits _{a}^{b}f'\,dx=f(b)-f(a).

Теорема Грина

Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть $M$ — плоскость, а $D$ — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах $x$ и $y,$ — это выражение $L\,dx+M\,dy.$ Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области $D$ верно

\ \int \limits _{\partial D}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.

Вывод из теоремы Стокса

Определяя дифференциальную форму $\omega =L\,dx+M\,dy$ , найдём её внешний дифференциал:

d\omega =\left({\dfrac {\partial L}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dx+\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial M}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dy.

Принимая во внимание, что $dx\wedge dx=0$ и $dy\wedge dy=0$ :

d\omega ={\underset {-{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dx\,\wedge \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge dx} }}+{\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge dy=\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}-{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.

Отсюда используя теорему Стокса:

\int \limits _{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.

■

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

Часто называется просто формулой Стокса. Пусть $\Sigma$ — кусочно-гладкая поверхность ( $p=2$ ) в трёхмерном евклидовом пространстве ( $n=3$ ), $\mathbf {F}$ — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура $\partial \Sigma$ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность $\Sigma$ , ограниченную контуром:

\int \limits _{\Sigma }\mathrm {rot} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,

или в координатной записи:

\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.

Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму $\omega =P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ . Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы $d(\omega _{F}^{1})=\omega _{\mathrm {rot} \,F}^{2}$ :

d\omega =\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\wedge dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\wedge dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.

Отсюда, используя теорему Стокса:

\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.

■

Доказательство с использованием формулы Грина

Пусть $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u(t),v(t))$ . Тогда

$\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\int _{\alpha }^{\beta }((\mathbf {a} (\mathbf {r} (u(t),v(t)))),r_{u}(u(t),v(t))u'(t)+r_{v}(u(t),v(t))v'(t))dt=\int _{\Omega }(a,r_{u})du+(a,r_{v})dv.$

Отсюда, используя формулу Грина, получаем $\int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\iint _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial u}}{(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{v})}-{\frac {\partial }{\partial v}}{(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{u})}\right]dudv={}$

${}=\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{u},\mathbf {r} _{v}\right)dudv-\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{v},\mathbf {r} _{u}\right)dudv$ ${}=\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r} _{u},\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r} _{u},(\mathbf {r} _{v},\nabla ),\mathbf {a} )]dudv,$ что по определению вихря и есть требуемая величина:

$\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r_{u}} ,\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r_{u}} ,(\mathbf {r_{v}} ,\nabla ),\mathbf {a} )]dudv=\iint _{\Omega }({r_{u}},{r_{v}},\operatorname {rot} \;\mathbf {a} )dudv=\iint _{\Sigma }(\operatorname {rot} \;\mathbf {a} ,\mathbf {n} )dS.$ ■

Формула Остроградского — Гаусса

Пусть теперь $\partial V$ — кусочно-гладкая гиперповерхность ( $p=n-1$ ), ограничивающая некоторую область $V$ в $n$ -мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области $\partial V$ :

\int \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {F} \,dV=\int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } .

В трёхмерном пространстве $(n=3)$ с координатами $\{x,y,z\}$ это эквивалентно записи:

\ \int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dV

или

\iint \limits _{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz.

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму $\omega =P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy$ . Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы $d(\omega _{F}^{2})=\omega _{\mathrm {div} \,F}^{3}$ :