Теорема Прота

В теории чисел теорема Прота является тестом простоты для чисел Прота.

Формулировка

Теорема Прота гласит:

Если p — это число Прота вида $k\cdot 2^{n}+1$ , где k — нечётно и $k<2^{n}$ , то p — простое (называемое простым Прота) тогда и только тогда, когда для некоторого квадратичного невычета a выполняется сравнение:

a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}

Доказательство

(а) Пусть p — простое. Тогда для любого квадратичного невычета a: $a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}$ по критерию Эйлера.

(б) Пусть $a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}$ для некоторого квадратичного невычета a. Используем критерий Поклингтона, где $n=2^{k}+1$ . Тогда $q=2$ — единственный простой делитель $n-1$ . Проверим выполнение условий критерия:

$a^{n-1}=(a^{(n-1)/2})^{2}\equiv 1{\pmod {n}}$ — выполнено.
числа n и $a^{(n-1)/q}-1$ взаимно просты — выполнено.

Так как условие $2^{k}>{\sqrt {n}}-1$ выполнено, n — простое. ^[1]

Тестирование чисел Прота на простоту

Теорема Прота может быть использована для тестирования простоты чисел Прота. Алгоритм вероятностного теста, основанного на теореме, выглядит следующим образом: Случайным образом выбирается целое число $a$ , такое что $a\not \equiv 1{\pmod {p}}\$ и вычисляет $b\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}\$ . Возможны следующие исходы:

$b\equiv -1{\pmod {p}}\$ , тогда $p$ — простое по теорема Прота.
$b\not \equiv \pm 1{\pmod {p}}\$ и $b^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\$ , тогда $p$ — составное, так как $gcd(b\pm 1,p)$ — нетривиальные делители $p$ .
$b^{2}\not \equiv 1{\pmod {p}}\$ , тогда p — составное по малой теореме Ферма.
$b\equiv 1{\pmod {p}}\$ , тогда результат теста неизвестен.

Исход (4) является причиной того, что тест вероятностный. В случае (1) $a$ — квадратичный невычет по модулю $p$ . Процедура повторяется пока простота $p$ не будет установлена. Если $p$ — простое, то тест с вероятностью $1/2$ подтвердит это за одну итерацию, так как количество квадратичных невычетов по модулю $p$ ровно $(p-1)/2$ . ^[2]

Примеры

для p = 3, 2¹ + 1 = 3 кратно 3, поэтому 3 является простым.
для p = 5, 3² + 1 = 10 кратно 5, поэтому 5 является простым.
p = 13, 5⁶ + 1 = 15626 делится на 13, 13 является простым.
для p = 9, которая не является простым, не существует b таких что a ⁴ + 1 делится на 9.

Простые числа Прота

Простые числа Прота образуют последовательность:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153 … (последовательность A080076 в OEIS)

На май 2017 года, крупнейшее известное простое Прота, 10223 · 2^31172165 + 1, найдено проектом Primegrid. Оно имеет 9383761 десятичных цифр и является крупнейшим известным простым, не являющимся простым Мерсенна.^[3]

Обобщенная теорема Прота

Лемма. Пусть $n=l^{k}$ для некоторого простого l и $k\geqslant 1$ . Пусть $r^{e}$ — степень простого числа, где $r\neq l$ . Если $r^{e}{\mathcal {j}}\phi (n)$ и $r^{e}>{\sqrt {n}}$ , то n — простое.

Доказательство.

r^{e}

— делитель

\phi (n)=(l-1)l^{k-1}

, поэтому

r^{e}{\mathcal {j}}l-1

. Если

k>1

, то

\phi (n)\geqslant (l-1)l>r^{2}e>n

— противоречие. Следовательно

k=1

n

— простое.

Теорема (обобщенная теорема Прота). Пусть $N=r^{e}t+1$ для некоторого простого $r$ и целых $e,t\geqslant 1$ . Пусть $r^{e}>t$ . Если $a^{N-1}\equiv 1(modN)$ и $a^{(N-1)/r}\not \equiv 1(modN)$ для некоторого целого $a$ , то $N$ — простое.