Теорема Кэли (теория групп)

Теорема Кэли — теоретико-групповое утверждение об изоморфности всякой конечной группы ${\displaystyle (G_{n},\circ )}$ порядка ${\displaystyle n}$ некоторой подгруппе группы перестановок ${\displaystyle S_{n}}$. При таком соответствии каждый элемент ${\displaystyle a\in G}$ сопоставляется с перестановкой ${\displaystyle \pi _{a}}$, задаваемой тождеством ${\displaystyle \pi _{a}(g)=a\circ g}$, где ${\displaystyle g}$ — произвольный элемент группы ${\displaystyle G}$.

Например, для группы ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4}}$ с заданной операцией ${\displaystyle +}$ можно определить отображение ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}}$:

${\displaystyle \varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}}$

В данном построении перестановка ${\displaystyle \varphi (n)}$ для каждого ${\displaystyle n}$ задаёт «таблицу сложения» с числом ${\displaystyle n}$, например, число 2 в ${\displaystyle \varphi (1)}$ переходит на сумму (операцию группы ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4}}$) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом, ${\displaystyle \varphi (0)}$ задаёт тождественное отображение ${\displaystyle \mathrm {id} _{G}(g)=g}$, и отображение ${\displaystyle \varphi }$ является гомоморфизмом.

Теоретико-категорное обобщение — лемма Йонеды (в её рамках группа может быть рассмотрена как категория из одного объекта).

Литература

• Александров П. С. . Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980. — (Библиотечка «Квант», вып. 7).
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.

Эта страница в последний раз была отредактирована 18 сентября 2023 в 21:46.