Теорема Коши о многогранниках

Теорема Коши о многогранниках утверждает, что грани многогранника вместе с правилом склейки полностью определяют выпуклый многогранник.

Формулировка

Два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если существует непрерывная биекция между их поверностями перводящая изометрией каждую грань первого многогранника в грань второго.

История

Вопрос о том, что грани многогранника вместе с правилами склейки полностью определяют выпуклый многогранник был сформулирован Лежандром в 1-м издании его учебника.^[1] Там же была дана ключевая лемма о четырёх переменах знаков, которая использовалась Коши в его доказательстве.^[2] Это доказательство содержало ошибку, которая была замечена Штейницем и исправлена только в 1934 году^[3].

Вариации и обобщения

• Аналогичный результат верен в пространствах всех размерностей начиная с 3.

• Для невыпуклых многогранников аналогичный результат неверен.
  • Более того, существует невыпуклый многогранник, который допускает непрерывные деформации в классе многогранников с конгруэнтными гранями. Такой многогранник называется изгибаемым. Однако, согласно теореме Сабитова, объём такого многогранника в процессе деформаций будет оставаться неизменным.

• Согласно теореме Александрова о развёртке, условие конгруэнтности граней можно ослабить до условия изометричности внутренней метрики поверхности многогранника.
  • Более того, то же верно для любой замкнутой выпуклой поверхности (теорема Погорелова).

См. также

• Лемма о руке

Примечания

Литература

• Н. П. Долбилин, Жемчужины теории многогранников. М.: МЦНМО, 2000. 40 с. ISBN 5-900916-48-0; Тираж 2000 экз. Серия Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 5.
• Лекция 24 в Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Эта страница в последний раз была отредактирована 6 января 2024 в 03:41.