Многозначное отображение

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — произвольные множества, а ${\displaystyle 2^{Y}}$ — совокупность всех подмножеств множества ${\displaystyle Y.}$ Многозначным отображением из множества ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ называется всякое отображение ${\displaystyle F:\ X\to 2^{Y}.}$ Обычно областью определения многозначного отображения ${\displaystyle F}$ является подмножество ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$, а областью значений — пространство ${\displaystyle \Omega (Y)\subset 2^{Y},}$ состоящее из непустых компактных подмножеств множества ${\displaystyle Y\subset \mathbb {R} ^{m},}$ то есть ${\displaystyle F:X\to \Omega (Y).}$

• Пример 1. Пусть ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$. Ставя в соответствие каждому значению ${\displaystyle x\in X}$ отрезок ${\displaystyle [-|x|,\,|x|],}$ мы получаем многозначное отображение ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \Omega (\mathbb {R} ).}$

• Пример 2. Пусть ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$ — непрерывная функция. Положим ${\displaystyle X=[\min f,+\infty ]}$ и ${\displaystyle Y=[0,1].}$ Ставя в соответствие каждому значению ${\displaystyle x\in X}$ множество ${\displaystyle M(x)=\{y\in [0,1]:f(y)\leq x\},}$ мы получаем многозначное отображение ${\displaystyle F:X\to \Omega (Y).}$

• Пример 3. Контингенция и паратингенция.

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойства

• Пространство ${\displaystyle \Omega (\mathbb {R} ^{m})}$ является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.
• Рассматривая для каждого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ опорную функцию множества ${\displaystyle F(x)\in \Omega (\mathbb {R} ^{m}),}$ мы получим вещественнозначную функцию ${\displaystyle c(F(x),\psi )}$ от двух аргументов: ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \psi \in (\mathbb {R} ^{n})^{*}}$, где звёздочка означает сопряжённое пространство.
• Многозначное отображение ${\displaystyle F}$ непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция ${\displaystyle c(F(x),\psi )}$ непрерывна по переменной ${\displaystyle x}$ для каждого фиксированного ${\displaystyle \psi }$.
• Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция ${\displaystyle c(F(x),\psi )}$ измерима по переменной ${\displaystyle x}$ для каждого фиксированного ${\displaystyle \psi }$.
• Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \Omega (\mathbb {R} ^{m})}$ называется такая функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},}$ что ${\displaystyle f(x)\in F(x)}$ для любого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$
• Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.
• Многозначное отображение ${\displaystyle F:X\to \Omega (Y)}$ называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$, если для любой окрестности множества ${\displaystyle F(x_{0})\in \Omega (Y)}$ (обозначим её ${\displaystyle V(F(x_{0}))}$) существует такая окрестность точки ${\displaystyle x_{0}\in X}$ (обозначим её ${\displaystyle U(x_{0})}$), что ${\displaystyle F(x)\subset V(F(x_{0}))}$ для любого ${\displaystyle x\in U(x_{0}).}$ Многозначное отображение ${\displaystyle F:X\to \Omega (Y)}$ называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке ${\displaystyle x\in X.}$ Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.
• Теорема Какутани: Пусть ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение ${\displaystyle F:X\to \Omega (X)}$ имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение ${\displaystyle F}$ имеет неподвижную точку ${\displaystyle x_{*}\in X,}$ то есть ${\displaystyle x_{*}\in F(x_{*}).}$ Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

См. также

• Многозначная функция
• Дифференциальное включение

Литература

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
• Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.

Эта страница в последний раз была отредактирована 9 сентября 2018 в 23:06.