Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.
Энциклопедичный YouTube
-
1/3
Просмотров:352
17 667
3 925
-
-
"Математическая статистика", Райгородский А. М. 11.02.2021г.
-
Лекция вторая по математической статистике
Формулировка
Пусть - бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения . Пусть - выборочная функция распределения, построенная на первых элементах выборки. Тогда
- почти наверное,
где символ обозначает точную верхнюю грань.
В случае непрерывной функции распределения теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком Кантелли. Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.
Доказательство
Обозначим . Так как обе функции распределения непрерывны спрва, то значение в любой точке можно приблизить точками из рациональной окрестости
Так как объединение счетного числа измеримых функций измеримо, то — случайная величина
Зафиксируем и положим . Легко заметить, что конечно
Рассмотрим теперь на произвольном промежутке и оценим интересующую нас разность через значения на концах:
Аналогично прибавлением и вычитанием доказывается, что
Получаем, что
Теперь по следствию из УЗБЧ имеем для достаточно больших и почти всех
См. также
Эта страница в последний раз была отредактирована 17 февраля 2024 в 09:59.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.