Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Теорема Гильберта о нулях

Из Википедии — свободной энциклопедии

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть  — произвольное поле (например, поле рациональных чисел),  — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим  — кольцо многочленов от переменных с коэффициентами в поле , пусть  — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество , определяемое этим идеалом, состоит из всех точек таких, что для любого . Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен зануляется на множестве , то есть если для всех , то существует натуральное число такое, что .

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если является собственным идеалом в кольце , то не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен имеет корни всюду на , следовательно, его степень принадлежит ). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала в не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала справедлива формула

где  — радикал идеала , а  — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве .

Из этого следует, что операции и задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в и радикальными идеалами в .

Проективная версия Nullstellensatz

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть ,  — множество однородных многочленов степени . Тогда

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества и однородного идеала пусть

Напомним, что не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами , в которых , определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала верно

Литература

См. также

Эта страница в последний раз была отредактирована 30 декабря 2019 в 11:32.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).