Теорема Вивиани

Теорема Вивиани — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. Названа по имени итальянского математика Винченцо Вивиани.

В части постоянства суммы расстояний от произвольной внутренней точки до сторон утверждение может быть обобщено на равносторонние многоугольники и многоугольники с равными углами^[1].

Доказательство

Теорема может быть доказана путём сравнения площадей треугольников. Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ — равносторонний треугольник, в котором ${\displaystyle h}$ — высота, ${\displaystyle s}$ — длина каждой из сторон. Точка ${\displaystyle P}$ выбирается произвольно внутри треугольника, и тогда ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ — расстояния от точки ${\displaystyle P}$ до сторон треугольника. Тогда площадь ${\displaystyle \triangle ABC}$ можно определить следующим образом:

${\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP}}$,

из чего вытекают следующие соотношения:

${\displaystyle {\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}}}$,

то есть:

${\displaystyle h=\ell +m+n}$.

Приложения

Теорема Вивиани позволяет получать координаты точек на трёхкомпонентные диаграммы^[en] путём проведения линий, параллельных сторонам равностороннего треугольника. В частности, таким образом можно строить диаграммы воспламеняемости^[en].

В более общем случае, они позволяют таким же образом задавать координаты на правильном симплексе.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Viviani's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points
• Viviani’s Theorem: What is it? at Cut the knot.
• Viviani’s Theorem by Jay Warendorff, the Wolfram Demonstrations Project.
• Viviani's theorem: Visualization + Proof на YouTube

Эта страница в последний раз была отредактирована 14 августа 2022 в 12:44.