Сходство Джаро — Винклера

В области информатики и статистики сходство Джаро — Винклера представляет собой меру схожести строк^[en]* для измерения расстояния между двумя последовательностями символов. Это вариант, который в 1999 году предложил Уильям Э. Винклер (William E. Winkler) на основе расстояния Джаро (1989, Мэтью А. Джаро, Matthew A. Jaro). Неформально, расстояние Джаро между двумя словами — это минимальное число односимвольных преобразований, которое необходимо для того, чтобы изменить одно слово в другое.

Чем меньше расстояние Джаро — Винклера ${\displaystyle d_{w}}$ для двух строк, тем больше сходства имеют эти строки друг с другом. Результат нормируется, так что ${\displaystyle d_{w}=0}$ означает отсутствие сходства, а ${\displaystyle d_{w}=1}$ — точное совпадение. Сходство Джаро — Винклера равно ${\displaystyle 1-d_{w}}$.

Определение

Расстояние Джаро

Расстояние Джаро ${\displaystyle d_{j}}$ между двумя заданными строками ${\displaystyle s_{1}}$ и ${\displaystyle s_{2}}$ это:

${\displaystyle d_{j}=\left\{{\begin{array}{l l}0&{\text{когда }}m=0\\{\frac {1}{3}}\left({\frac {m}{|s_{1}|}}+{\frac {m}{|s_{2}|}}+{\frac {m-t}{m}}\right)&{\text{в остальных случаях}}\end{array}}\right.}$

Где:

• ${\displaystyle |s_{i}|}$ — длина строки ${\displaystyle s_{i}}$;
• ${\displaystyle m}$ — число совпадающих символов (см. ниже);
• ${\displaystyle t}$ — половина числа транспозиций (см. ниже).

Два символа из ${\displaystyle s_{1}}$ и ${\displaystyle s_{2}}$ соответственно, считаются совпадающими только если они одинаковы и не дальше, чем ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\max(|s_{1}|,|s_{2}|)}{2}}\right\rfloor -1}$.

Каждый символ строки ${\displaystyle s_{1}}$ сравнивается со всеми соответствующими ему символами в ${\displaystyle s_{2}}$. Количество совпадающих (но отличающихся порядковыми номерами) символов, которое делится на 2, определяет число транспозиций. Например, при сравнении слова CRATE со словом TRACE, только 'R' 'A' и 'Е' являются совпадающими символами, то есть m=3. Хотя 'C' и 'T' появляются в обоих строках, они дальше, чем на 1, то есть floor(5/2)-1=1. Следовательно, t=0 . В сравнении DwAyNE с DuANE соответствующие буквы находятся уже в том же самом порядке D-A-N-E, так что никаких перестановок не требуется.

Расстояние Джаро — Винклера

Расстояние Джаро — Винклера использует коэффициент масштабирования ${\displaystyle p}$, что дает более благоприятные рейтинги строкам, которые совпадают друг с другом от начала до определённой длины ${\displaystyle \ell }$, которая называется префиксом. Даны две строки ${\displaystyle s_{1}}$ и ${\displaystyle s_{2}}$. Их расстояние Джаро — Винклера ${\displaystyle d_{w}}$ это:

${\displaystyle d_{w}=d_{j}+(\ell p(1-d_{j}))}$

где:

• ${\displaystyle d_{j}}$ — расстояние Джаро для строк ${\displaystyle s_{1}}$ и ${\displaystyle s_{2}}$
• ${\displaystyle \ell }$ — длина общего префикса от начала строки до максимума 4-х символов
• ${\displaystyle p}$ — постоянный коэффициент масштабирования, использующийся для того, чтобы скорректировать оценку в сторону повышения для выявления наличия общих префиксов. ${\displaystyle p}$ не должен превышать 0,25, поскольку в противном случае расстояние может стать больше, чем 1. Стандартное значение этой константы в работе Винклера: ${\displaystyle p=0.1}$.

Хотя расстояние Джаро-Винклера часто называют метрикой расстояния, это не метрика в математическом смысле этого слова, потому что оно не подчиняется неравенству треугольника . Также расстояние Джаро-Винклера не удовлетворяет аксиоме, которая гласит, что ${\displaystyle d(x,y)=0\leftrightarrow x=y}$^[1].

В некоторых реализациях алгоритма расчёта расстояния Джаро — Винклера префиксный бонус ${\displaystyle \ell p(1-d_{j})}$ добавляется, только если сравниваемые строки имеют расстояние Джаро выше установленного «порога усиления» ${\displaystyle b_{t}}$. Порог в реализации Винклера составил 0,7.

${\displaystyle d_{w}=\left\{{\begin{array}{l l}d_{j}&{\text{если }}d_{j}<b_{t}\\d_{j}+(\ell p(1-d_{j}))&{\text{в остальных случаях}}\end{array}}\right.}$

Примеры

Следует отметить, что написанный Винклером программный код на языке программирования C различается по крайней мере в двух местах от опубликованных работ по метрике Джаро — Винклера. Первое — это его использование таблицы опечаток (adjwt), а второе — это некоторые дополнительные условия для длинных строк.

Пример 1

Даны строки ${\displaystyle s_{1}}$ MARTHA и ${\displaystyle s_{2}}$ MARHTA. Представим их пересечение в табличном виде:

Здесь максимальное расстояние составляет 6/2 — 1 = 2. В желтых ячейках приведенной таблицы указаны единицы, когда символы идентичны (имеется совпадение), и нули в противном случае.

Получается:

• ${\displaystyle m=6}$
• ${\displaystyle |s_{1}|=6}$
• ${\displaystyle |s_{2}|=6}$
• Есть несовпадающие символы T/H и Н/Т, в результате: ${\displaystyle t={\frac {2}{2}}=1}$

Расстояние Джаро:

${\displaystyle d_{j}={\frac {1}{3}}\left({\frac {6}{6}}+{\frac {6}{6}}+{\frac {6-1}{6}}\right)=0.9(4)}$

Чтобы найти результат Джаро — Винклера с помощью стандартного веса ${\displaystyle p=0.1}$ мы продолжаем искать:

${\displaystyle \ell =3}$

Таким образом:

${\displaystyle d_{w}=0.9(4)+(3\cdot 0.1(1-0.9(4)))=0.96(1)}$

Пример 2

Даны строки ${\displaystyle s_{1}}$ DWAYNE и ${\displaystyle s_{2}}$ DUANE. Получается:

• ${\displaystyle m=4}$
• ${\displaystyle |s_{1}|=6}$
• ${\displaystyle |s_{2}|=5}$
• ${\displaystyle t={\frac {2}{2}}=1}$

Расстояние Джаро:

${\displaystyle d_{j}={\frac {1}{3}}\left({\frac {4}{6}}+{\frac {4}{5}}+{\frac {4-1}{4}}\right)=0.73(8)}$

Чтобы найти результат Джаро-Винклера с помощью стандартного веса ${\displaystyle p=0.1}$ мы продолжаем искать:

${\displaystyle \ell =1}$

Таким образом:

${\displaystyle d_{w}=0.73(8)+(1\cdot 0.1(1-0.73(8)))=0.765}$

Пример 3

Даны строки ${\displaystyle s_{1}}$ DIXON и ${\displaystyle s_{2}}$ DICKSONX. Получается:

Здесь закрашенные клетки — это окно соответствия для каждого символа. Единицы в ячейке указывает на совпадение. Заметим, что два икса (X) не считаются совпавшими, поскольку они находятся за пределами третьего окна совпадения.

• ${\displaystyle m=4}$
• ${\displaystyle |s_{1}|=5}$
• ${\displaystyle |s_{2}|=8}$
• ${\displaystyle t={\frac {2}{2}}=1}$

Расстояние Джаро:

${\displaystyle d_{j}={\frac {1}{3}}\left({\frac {4}{5}}+{\frac {4}{8}}+{\frac {4-1}{4}}\right)=0.68(3)}$

Чтобы найти результат Джаро-Винклера с помощью стандартного веса ${\displaystyle p=0.1}$ мы продолжаем искать:

${\displaystyle \ell =2}$

Таким образом:

${\displaystyle d_{w}=0.68(3)+(2\cdot 0.1(1-0.68(3)))=0.74(6)}$

Отношения с другими метриками изменения расстояния

Есть и другие популярные меры изменения расстояния, которые рассчитываются с использованием другого набора допустимых операций редактирования. Например,

• Расстояние Левенштейна позволяет удаление, вставку и замену символов;
• Расстояние Дамерау-Левенштейна позволяет вставку, удаление, замену и перестановку двух соседних символов;
• Наибольшая общая подпоследовательность позволяет только вставки и удаления, но не замену;
• Расстояние Хэмминга позволяет только замену, поэтому оно применяется только для строк одинаковой длины.

Изменение расстояния обычно определяется как параметризуемая метрика, вычисленная с помощью определённого набора допустимых операций редактирования, и каждой операции присваивается стоимость (возможно, бесконечная). Это является дальнейшим обобщением генетических алгоритмов выравнивания последовательностей, таких, как алгоритм Смита-Ватермана, которые делают стоимость операции зависящей от того, где она применяется.

Практическое применение

• Алгоритм Джаро-Винклера использовался для обработки результатов переписи населения^[2].
• Алгоритм сравнения строк Джаро — Винклера реализован в СУБД Oracle^[3].

Реализации алгоритма на различных языках программирования

* strcmp95.c   Version 2						      */

/* The strcmp95 function returns a double precision value from 0.0 (total
   disagreement) to 1.0 (character-by-character agreement).  The returned 
   value is a measure of the similarity of the two strings.                   */

/* Date of Release:  Jan. 26, 1994					      */
/* Modified: April 24, 1994  Corrected the processing of the single length
             character strings.
   Authors:  This function was written using the logic from code written by
             Bill Winkler, George McLaughlin and Matt Jaro with modifications
             by Maureen Lynch. 
   Comment:  This is the official string comparator to be used for matching 
             during the 1995 Test Census.                                     */

# include <ctype.h>
# include <string.h>

# define NOTNUM(c)	((c>57) || (c<48))
# define INRANGE(c)      ((c>0)  && (c<91))
# define MAX_VAR_SIZE 61
# define NULL60 "                                                            "

double  strcmp95(char *ying, char *yang, long y_length, int *ind_c[])

{
/* Arguments:

   ying and yang are pointers to the 2 strings to be compared.  The strings
   need not be NUL-terminated strings because the length is passed.

   y_length is the length of the strings. 

   ind_c is an array that is used to define whether certain options should be 
   activated.  A nonzero value indicates the option is deactivated.  
   The options are:
     ind_c[0] Increase the probability of a match when the number of matched
              characters is large.  This option allows for a little more
              tolerance when the strings are large.  It is not an appropriate
              test when comparing fixed length fields such as phone and
              social security numbers.
     ind_c[1] All lower case characters are converted to upper case prior
              to the comparison.  Disabling this feature means that the lower 
              case string "code" will not be recognized as the same as the 
              upper case string "CODE".  Also, the adjustment for similar 
              characters section only applies to uppercase characters.

   The suggested values are all zeros for character strings such as names.    */

static	int	pass=0,	adjwt[91][91];
static	char	sp[39][2] =
 {'A','E',  'A','I',  'A','O',  'A','U',  'B','V',  'E','I',  'E','O',  'E','U',
  'I','O',  'I','U',  'O','U',  'I','Y',  'E','Y',  'C','G',  'E','F',
  'W','U',  'W','V',  'X','K',  'S','Z',  'X','S',  'Q','C',  'U','V',
  'M','N',  'L','I',  'Q','O',  'P','R',  'I','J',  '2','Z',  '5','S',
  '8','B',  '1','I',  '1','L',  '0','O',  '0','Q',  'C','K',  'G','J',
  'E',' ',  'Y',' ',  'S',' '};

char    ying_hold[MAX_VAR_SIZE],
        yang_hold[MAX_VAR_SIZE],
        ying_flag[MAX_VAR_SIZE],
        yang_flag[MAX_VAR_SIZE];

double  weight,	Num_sim;

long    minv,   search_range,   lowlim,    ying_length,
        hilim,  N_trans,        Num_com,   yang_length;

int	yl1,	yi_st,	N_simi;

register        int     i,      j,      k;

/* Initialize the adjwt array on the first call to the function only.
   The adjwt array is used to give partial credit for characters that 
   may be errors due to known phonetic or character recognition errors.
   A typical example is to match the letter "O" with the number "0"           */
if (!pass) {
  pass++;
  for (i=0; i<91; i++) for (j=0; j<91; j++) adjwt[i][j] = 0;
  for (i=0; i<36; i++) {
    adjwt[sp[i][0]][sp[i][1]] = 3;
    adjwt[sp[i][1]][sp[i][0]] = 3;
} }

/* If either string is blank - return - added in Version 2                    */
if (!strncmp(ying,NULL60,y_length)) return(0.0);
if (!strncmp(yang,NULL60,y_length)) return(0.0);

/* Identify the strings to be compared by stripping off all leading and 
   trailing spaces.							      */
k = y_length - 1;
for(j = 0;((ying[j]==' ') && (j < k));j++);
for(i = k;((ying[i]==' ') && (i > 0));i--);
ying_length = i + 1 - j;
yi_st = j;

for(j = 0;((yang[j]==' ') && (j < k));j++);
for(i = k;((yang[i]==' ') && (i > 0));i--);
yang_length = i + 1 - j;

ying_hold[0]=yang_hold[0]=0;
strncat(ying_hold,&ying[yi_st],ying_length);
strncat(yang_hold,&yang[j],yang_length);

if (ying_length > yang_length) {
  search_range = ying_length;
  minv = yang_length;
  }
 else {
  search_range = yang_length;
  minv = ying_length;
  }

/* If either string is blank - return                                         */
/* if (!minv) return(0.0);                   removed in version 2             */

/* Blank out the flags							      */
ying_flag[0] = yang_flag[0] = 0;
strncat(ying_flag,NULL60,search_range);
strncat(yang_flag,NULL60,search_range);
search_range = (search_range/2) - 1;
if (search_range < 0) search_range = 0;   /* added in version 2               */

/* Convert all lower case characters to upper case.                           */
if (!ind_c[1]) {
  for (i = 0;i < ying_length;i++) if (islower(ying_hold[i])) ying_hold[i] -= 32;
  for (j = 0;j < yang_length;j++) if (islower(yang_hold[j])) yang_hold[j] -= 32;
}

/* Looking only within the search range, count and flag the matched pairs.    */
Num_com = 0;
yl1 = yang_length - 1;
for (i = 0;i < ying_length;i++) {
  lowlim = (i >= search_range) ? i - search_range : 0;
  hilim = ((i + search_range) <= yl1) ? (i + search_range) : yl1;
  for (j = lowlim;j <= hilim;j++)  {
    if ((yang_flag[j] != '1') && (yang_hold[j] == ying_hold[i])) {
        yang_flag[j] = '1';
        ying_flag[i] = '1';
        Num_com++;
        break;
} } }

/* If no characters in common - return                                        */
if (!Num_com) return(0.0);

/* Count the number of transpositions                                         */
k = N_trans = 0;
for (i = 0;i < ying_length;i++) {
  if (ying_flag[i] == '1') {
    for (j = k;j < yang_length;j++) {
        if (yang_flag[j] == '1') { 
         k = j + 1;
         break;
    } }
    if (ying_hold[i] != yang_hold[j]) N_trans++;
} }
N_trans = N_trans / 2;

/* adjust for similarities in nonmatched characters                           */
N_simi = 0;
if (minv > Num_com) {
  for (i = 0;i < ying_length;i++) {
    if (ying_flag[i] == ' ' && INRANGE(ying_hold[i])) { 
      for (j = 0;j < yang_length;j++) {
        if (yang_flag[j] == ' ' && INRANGE(yang_hold[j])) {
          if (adjwt[ying_hold[i]][yang_hold[j]] > 0) {
            N_simi += adjwt[ying_hold[i]][yang_hold[j]];
            yang_flag[j] = '2';
            break;
} } } } } }
Num_sim = ((double) N_simi)/10.0 + Num_com;

/* Main weight computation.						      */
weight= Num_sim / ((double) ying_length) + Num_sim / ((double) yang_length)
   + ((double) (Num_com - N_trans)) / ((double) Num_com);
weight = weight / 3.0;

/* Continue to boost the weight if the strings are similar                    */
if (weight > 0.7) {

  /* Adjust for having up to the first 4 characters in common                 */
  j = (minv >= 4) ? 4 : minv;
  for (i=0;((i<j)&&(ying_hold[i]==yang_hold[i])&&(NOTNUM(ying_hold[i])));i++); 
  if (i) weight += i * 0.1 * (1.0 - weight);

  /* Optionally adjust for long strings.                                      */
  /* After agreeing beginning chars, at least two more must agree and 
       the agreeing characters must be > .5 of remaining characters.          */
  if ((!ind_c[0]) && (minv>4) && (Num_com>i+1) && (2*Num_com>=minv+i)) 
  if (NOTNUM(ying_hold[0])) 
    weight += (double) (1.0-weight) *
   ((double) (Num_com-i-1) / ((double) (ying_length+yang_length-i*2+2)));
 }

return(weight);

} /* strcmp95 */

function JaroWinkler(prmT1, prmT2: String;p:Double=0.1): Double;
Var
ecartMax,l1,l2,compteMatching,compteTransposition,longueurPrefix,i,j:integer;
c1,c2,t1Matche,t2Matche:string;
b1,b2:array of Boolean;
distanceJaro:Double;
label endfor,exitfor2;
  function  TrouverMatches(prmTextInitial:string;b1:array of Boolean):string;
  var
  i:integer;
  res:string;
  begin
  // Calcule le nombre de caractères qui match
    for i := 1 to Length(prmTextInitial) do
    begin
      if b1[i] then//prmTextMatche[i]='_' then
      begin
        res:=res+prmTextInitial[i];
      end;
    end;
  TrouverMatches:=res;
  end;
begin
 ecartMax:=round(Max(Length(prmT1), Length(prmT2))/2)-1;
 if ((prmT1='') or (prmT2='')) then
 begin
  JaroWinkler:=0;
  exit;
 end;
 compteMatching:=0;
 compteTransposition:=0;
 l1:=Length(prmT1);
 l2:=Length(prmT2);
 Setlength(b1,l1+1);
 Setlength(b2,l2+1);
 for i := 0 to l1 do
 begin
  b1[i]:=false;
 end;
 for i := 0 to l2 do
 begin
  b2[i]:=false;
 end;

 for i := 1 to l1 do
 begin
  c1:=prmT1[i];
  if (i<=l2) then
    c2:=prmT2[i]
  else
    c2:='';
  for j := Max(i-ecartMax,1) to Min(i+ecartMax,l2) do
  begin
    c2:=prmT2[j];
    if c1=c2 then //compteMatching avec transposition
    begin
     b1[i]:=true;
     b2[j]:=true;
     //Le caractère a été matché, il n'est plus disponible
     Inc(compteMatching);
     break;
    end;
  end;
 end;
 if (compteMatching=0) then
 begin
  JaroWinkler:=0;
  exit;
 end;
 //Dans les caractères matchés, compte ceux qui ne matchent pas exactement
 t1Matche:=TrouverMatches(prmT1,b1);
 t2Matche:=TrouverMatches(prmT2,b2);
 if t1Matche<>t2Matche then
 begin
  for i := 1 to length(t1Matche) do
  begin
    if t1Matche[i]<>t2Matche[i] then
      Inc(compteTransposition)
  end;
 end else begin
   compteTransposition:=0;
 end;

 distanceJaro:=1/3*((compteMatching/l1)+(compteMatching/l2)+((compteMatching-Int(compteTransposition/2))/compteMatching));

 //Calcule la distance Winkler
 //Calcule le prefix sur les 4 premiers car aux max
 longueurPrefix:=0;
 for i := 1 to min(4,min(l1,l2)) do
 begin
  c1:=prmT1[i];
  c2:=prmT2[i];
  if c1=c2 then
    inc(longueurPrefix)
  else
  break;
 end;
 //Valeur constante définie par l'algo
 JaroWinkler:=distanceJaro+(longueurPrefix*p*(1-distanceJaro));
end;

<?php

/*
  version 1.2

  Copyright (c) 2005-2010  Ivo Ugrina <[email protected]>

  A PHP library implementing Jaro and Jaro-Winkler
  distance, measuring similarity between strings.

  Theoretical stuff can be found in:
  Winkler, W. E. (1999). "The state of record linkage and current
  research problems". Statistics of Income Division, Internal Revenue
  Service Publication R99/04. http://www.census.gov/srd/papers/pdf/rr99-04.pdf.

  This program is free software; you can redistribute it and/or modify
  it under the terms of the GNU General Public License as published by
  the Free Software Foundation; either version 3 of the License, or (at
  your option) any later version.

  This program is distributed in the hope that it will be useful, but
  WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU
  General Public License for more details.

  You should have received a copy of the GNU General Public License
  along with this program.  If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.

  ===

  A big thanks goes out to Pierre Senellart <[email protected]>
  for finding a small bug in the code.

*/

function getCommonCharacters( $string1, $string2, $allowedDistance ){

  $str1_len = strlen($string1);
  $str2_len = strlen($string2);
  $temp_string2 = $string2;

  $commonCharacters='';

  for( $i=0; $i < $str1_len; $i++){

    $noMatch = True;

    // compare if char does match inside given allowedDistance
    // and if it does add it to commonCharacters
    for( $j= max( 0, $i-$allowedDistance ); $noMatch && $j < min( $i + $allowedDistance + 1, $str2_len ); $j++){
      if( $temp_string2[$j] == $string1[$i] ){
        $noMatch = False;

    $commonCharacters .= $string1[$i];

    $temp_string2[$j] = '';
      }
    }
  }

  return $commonCharacters;
}

function Jaro( $string1, $string2 ){

  $str1_len = strlen( $string1 );
  $str2_len = strlen( $string2 );

  // theoretical distance
  $distance = floor(min( $str1_len, $str2_len ) / 2.0); 

  // get common characters
  $commons1 = getCommonCharacters( $string1, $string2, $distance );
  $commons2 = getCommonCharacters( $string2, $string1, $distance );

  if( ($commons1_len = strlen( $commons1 )) == 0) return 0;
  if( ($commons2_len = strlen( $commons2 )) == 0) return 0;

  // calculate transpositions
  $transpositions = 0;
  $upperBound = min( $commons1_len, $commons2_len );
  for( $i = 0; $i < $upperBound; $i++){
    if( $commons1[$i] != $commons2[$i] ) $transpositions++;
  }
  $transpositions /= 2.0;

  // return the Jaro distance
  return ($commons1_len/($str1_len) + $commons2_len/($str2_len) + ($commons1_len - $transpositions)/($commons1_len)) / 3.0;

}

function getPrefixLength( $string1, $string2, $MINPREFIXLENGTH = 4 ){

  $n = min( array( $MINPREFIXLENGTH, strlen($string1), strlen($string2) ) );

  for($i = 0; $i < $n; $i++){
    if( $string1[$i] != $string2[$i] ){
      // return index of first occurrence of different characters 
      return $i;
    }
  }

  // first n characters are the same   
  return $n;
}

function JaroWinkler($string1, $string2, $PREFIXSCALE = 0.1 ){

  $JaroDistance = Jaro( $string1, $string2 );

  $prefixLength = getPrefixLength( $string1, $string2 );

  return $JaroDistance + $prefixLength * $PREFIXSCALE * (1.0 - $JaroDistance);
}

?>

• Реализация алгоритма на C#
• Реализация алгоритма на Java

Примечания

Ссылки

• Cohen, W. W. A comparison of string distance metrics for name-matching tasks (англ.) // KDD Workshop on Data Cleaning and Object Consolidation : journal. — 2003. — Vol. 3. — P. 73—8.
• Jaro, M. A. Advances in record linkage methodology as applied to the 1985 census of Tampa Florida (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — 1989. — Vol. 84, no. 406. — P. 414—420. — doi:10.1080/01621459.1989.10478785.
• Jaro, M. A. Probabilistic linkage of large public health data file (англ.) // Statistics in Medicine : journal. — 1995. — Vol. 14, no. 5—7. — P. 491—498. — doi:10.1002/sim.4780140510. — PMID 7792443.
• Winkler, W. E. String Comparator Metrics and Enhanced Decision Rules in the Fellegi-Sunter Model of Record Linkage (англ.) // Proceedings of the Section on Survey Research Methods : journal. — American Statistical Association, 1990. — P. 354—359. Архивировано 13 февраля 2015 года.
• William E. Winkler. Overview of Record Linkage and Current Research Directions (англ.) // Research Report Series, RRS : journal. — 2006. Архивировано 4 сентября 2021 года.

Эта страница в последний раз была отредактирована 10 ноября 2023 в 17:03.