Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).
Энциклопедичный YouTube
-
1/5Просмотров:3 4261 8221 5976981 023
-
Теория меры 13. Сходимость по мере и интеграл Лебега
-
Основы вероятностей и теория меры 13. Лестница Кантора. Сходимость по мере и почти всюду. Пределы
-
Основы вероятностей и теория меры 14. Сходимость по мере. Интеграл Лебега.
-
Сходимость по распределению, сходимость по мат. ожиданию
-
Сходимость по вероятности последовательности случайных величин
Субтитры
Определение
Пусть — пространство с мерой. Пусть — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций сходится по мере к функции , если
- .
Обозначение: .
В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство с определёнными на нём случайными величинами , то говорят, что сходится по вероятности к , если
- .
Обозначение: .
Замечание
Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.
Свойства сходимости по мере
- Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций сходится по мере к , то у неё существует подпоследовательность , сходящаяся к -почти всюду.
- Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций сходится по мере к тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности существует подпоследовательность, которая сходится к почти всюду.
- Если последовательность функций сходится по мере к , и , где , то , и сходится к в .
- Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций сходится -почти всюду к , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
- Если последовательность функций сходится в к , то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.
- Если последовательность случайных величин сходится по вероятности к , то она сходится к и по распределению.
- Если последовательность случайных величин сходится по вероятности к , то для любой непрерывной функции верно, что . Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.