Сумма Римана

Субтитры

Здравствуйте! Мы уже рассматривали несколько задач на нахождение приближенной площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми а и b. Мы строили прямоугольники одинаковой ширины и вычисляли сумму площадей этих прямоугольников. Эта сумма и представляла собой приближенное значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми а и b. Как видите, на интервале (а;b) изображено n прямоугольников одинаковой ширины, а вот высота прямоугольника равна значению функции в левом верхнем углу прямоугольника. В общем формула приближенной площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми а и b, выглядит так. Это формула метода левых прямоугольников. Аналогично строятся формулы правых и центральных прямоугольников. Также есть формула метода трапеций. Но все эти формулы являются разновидностями суммы Римана. Эта формула также является суммой Римана. Когда люди говорят о сумме Римана, зачастую они подразумевают формулу в общем виде, это совершенно не значит, что вам надо строить трапеции или прямоугольники одинаковой ширины. Я же строила именно одинаковой ширины, потому что, мне кажется, так проще понять суть. А это портрет человека, в честь которого и назвали эту сумму. Это немецкий математик и физик Бернхард Риман. За свою короткую жизнь он много сделал для математики, но наибольшую известность ему принесла (по крайней мере, в рамках матанализа) его интегральная сумма. Какое отношение эта сумма имеет к нахождению определенного интеграла? Мы знаем, что Ньютон и Лейбниц заложили понятие определенного интеграла, но все же формула суммы Римана чаще используется для описания того, что же такое интеграл. Итак, это пример суммы Римана. Чем больше значение n (чем больше прямоугольников), тем точнее значение площади фигуры под графиком функции. Получается, что мы можем определить площадь этой фигуры как определенный интеграл. Чтобы выяснить, чему равна площадь фигуры, ограниченной графиком функции и вертикальными прямыми а и b, нужно взять эту сумму (хотя это необязательно должна быть именно эта сумма, это может быть любая сумма Римана) и найти предел этой суммы при n, стремящемся к бесконечности. А что произойдет, когда n будет стремиться к бесконечности? Сейчас мы сделаем еще один рисунок. Это ось У, а это ось Х. Вот график нашей функции. Предположим, где-то здесь у нас а, а здесь b. Мы можем построить тысячи прямоугольников. И чем больше прямоугольников, тем точнее будет значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми а и b. Площадь этой фигуры, этой криволинейной трапеции, и является интегралом от а до b функции f(x) dx. Сейчас я покажу, что и как соотносится друг с другом в этих формулах. В сумме Римана Δх – это ширина прямоугольника. Это Δх. Это еще одно Δх, еще одно, еще одно и так далее. dx в данном случае – это Δх, стремящееся к 0, Δх не равно 0, но оно к нему стремится. Мы можем рассматривать dx как «бесконечно» малое Δх. Значит, можно сказать, что функция f(x) умножается на «бесконечно» малое Δх. Мы суммируем площади n прямоугольников (или трапеций) на промежутке от а до b. Теперь, думаю, вам понятен геометрический смысл интеграла. Обращаю ваше внимание на то, что это не единственная сумма Римана. Именно эта сумма называется левой суммой Римана. В данном случае мы используем левые края интервала. А есть еще и правая, и средняя, и трапециевидная суммы Римана. Если вычислить предел любой из этих сумм при n, стремящемся к бесконечности, то в результате получится определенный интеграл от а до b функции f(x) dx. Это только определение интеграла. А вот как вычислять такие интегралы, я вам покажу на одном из следующих уроков. А на этом все. До скорых встреч!