Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(x − x1)…(x − xn), где x1, …, xn — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a ≠ 0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(x − x1)…(x − xn), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.

Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно.

Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду p(x1,…,xd) = 0, где полином p(x1, …, xd) имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n.

Степень полинома обозначается deg (англ. degree, фр. degré, от лат. gradus + de-).[1]

Названия определённых степеней

В d-мерном евклидовом пространстве (d − 1)-мерная поверхность, являющаяся решением уравнения p(x1,…,xd) = 0 степени n с декартовыми координатами x1, …, xd, называется (d − 1)-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей:

Примеры

  1. Многочлен x(x − 2) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей.
  2. У многочлена (2x − 1)(3x − 2) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: 2 × 3(x12)(x23), — так что он имеет степень 2.
  3. У многочлена 16x5 + (−20)x3 + 5x + (−1) одночлен с наибольшей степенью — это 16x5, а значит, степень многочлена равна 5.
  4. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином (x2 + 1)2 − (−x2 + 1)2 имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 4x2.
  5. 2(2x − y)xy является многочленом третьей степени.
  6. Многочлен x2 + y имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x2, причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y.
  7. Степень многочлена xy + y + x равна 2.

Степень многочлена при операциях над ними

Умножение

При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется:

Например, степень полинома 6(x12)(x23) = 6x2 − 5x + 2, как и (x12)(x23) = x2 + −56x + 13, равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p(x) и q(x) равна сумме степеней этих полиномов:[3][4]

К примеру, степень многочлена (x2 + 1)(x3 − x − 1) = x5 − x2 − x − 1 равна 2 + 3 = 5.

Сложение, вычитание

Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:[5][6]

То же самое неравенство верно и для разности:

При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен (x2 + 1)2 имеет четвёртую степень, (x + 1)2 — вторую, а многочлены (x2 + 1)2 ± (x + 1)2 — 4-ю.

Композиция

Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:[7]

Например, если p(x) = x2 + 1, q(x) = x3 + 1, то степени многочленов p ∘ q(x) = x6 + 2x3 + 2 и q ∘ p(x) = x6 + 3x4 + 3x2 + 2 равны 2 × 3 = 6.

Степень многочлена нескольких переменных

Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x1y2x3 относительно x и y равна 1 + 2 + 3 = 6.

В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен xy + y + x имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy.

Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином x2 + y2 + xy + x + y имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:

а относительно y:

Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином (x2 + 1)y2 + (x + 1)y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен (x2 + 1)y2 обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y).

Степень нулевого многочлена

Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой[8], либо отрицательной — как правило, −1[9] или −∞.[2][10]

В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов.

При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой):

  • [10]

Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то

  • а с другой стороны,

Примечания

  1. Eric W. Weisstein. Polynomial Degree (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 3 июня 2021 года.
  2. 1 2 Eric W. Weisstein. Zero Polynomial (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 1 мая 2021 года.
  3. Serge Lang. Algebra. — 3. — New York: Springer-Verlag, 2002. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
  4. Серж Ленг. Алгебра. — Springer, 2005. — С. 100. — ISBN 978-0-387-95385-4.
  5. abstract algebra - The degree of a sum of two polynomials (proof question). Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
  6. Degree of sum of polynomials - TheoremDep. sharmaeklavya2.github.io. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 20 января 2021 года.
  7. algebra precalculus - What's polynomial composition useful for? Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
  8. Шафаревич, Игорь Ростиславович. Лекции по алгебре. — С. 25. Архивировано 2 июня 2021 года.
  9. Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру. — 1995. — С. 233. Архивировано 2 июня 2021 года.
  10. 1 2 Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру.. — 2009. Архивировано 2 июня 2021 года.

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 28 февраля 2024 в 00:43.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).