Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Сопряжённые функторы

Из Википедии — свободной энциклопедии

Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению . Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым.

Мотивировка

Сопряжённые функторы — один из ключевых инструментов теории категорий, многие примечательные математические конструкции могут быть описаны как сопряжённые функторы. В результате из общих теорем о сопряжённых функторах, таких как эквивалентность различных определений, и из того факта, что правые сопряжённые функторы коммутируют с пределами (а левые — с копределами), могут немедленно следовать доказательства многих интересных результатов.

Решение оптимизационной задачи

Можно сказать, что сопряжённый функтор — это способ указания наиболее эффективного решения некоторой проблемы с помощью стандартного метода. Например, элементарная проблема из теории колец — как превратить псевдокольцо (то есть кольцо, которое может не иметь мультипликативной единицы) в кольцо. Наиболее эффективный способ это сделать — добавить в кольцо единицу, все элементы, необходимые для выполнения аксиом кольца (например, элементы типа r+1, где r — элемент кольца) и не предполагать никаких соотношений в новом кольце, которые не необходимы для выполнения аксиом. Эта конструкция стандартна в том смысле, что она работает для любого псевдокольца.

Приведенное выше описание очень расплывчато, но его можно сделать точным, используя язык теории категорий: конструкция «наиболее эффективна», если она удовлетворяет универсальному свойству, и «стандартна» в том смысле, что она задаёт функтор. Универсальные свойства делятся на начальные и терминальные, так как эти понятия двойственны, достаточно рассмотреть одно из них.

Идея использования начального свойства состоит в том, чтобы сформулировать проблему в терминах такой вспомогательной категории E, чтобы осталось лишь найти начальный объект E. Такая формулировка имеет то преимущество, что задача «нахождения наиболее эффективного решения» становится вполне строгой и в каком-то смысле сходной с задачей нахождения экстремума. Для выбора правильной категории E иногда требуется подбирать непростые приёмы: в случае полукольца R нужная категория — это категория, объекты которой — гомоморфизмы полуколец RS, где S — некоторое кольцо с единицей. Морфизмы в E между RS1 и RS2 — коммутативные треугольники вида (RS1,RS2, S1S2), где S1 → S2 — гомоморфизм колец. Существование морфизма между RS1 и RS2 означает, что S1 — не менее эффективное решение проблемы, чем S2: S2 имеет больше добавленных элементов и (или) больше соотношений между ними, чем S1.

Сказать, что этот метод определяет «наиболее эффективное» и «стандартное» решение проблемы — то же самое, что сказать, что он задает сопряжённые функторы.

Формальные определения

Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов. Их эквивалентность элементарна, но не тривиальна.

Определение с помощью универсальной стрелки[⇨] легко сформулировать, оно также наиболее близко к нашей интуиции по поводу «оптимизационной задачи».

Определение с помощью единицы и коединицы[⇨] удобно для функторов, часто встречающихся в алгебре, потому что предоставляет формулы, которые можно проверить напрямую.

Определение с помощью множеств Hom[⇨] делает очевидной симметричность определения и проясняет причины для именования функторов «сопряжёнными».

Универсальная стрелка

Функтор F : CD — левый сопряжённый функтор, если для каждого объекта X категории C существует терминальная стрелка εX из F в X. Если для каждого X в C мы выберем объект G0X в D, для которого определена терминальная стрелка εX : F(G0X) → X, то существует единственный функтор G : CD, такой, что GX = G0X и для любого морфизма в категории C f : X выполняется εFG(f) = f ∘ εX; F тогда называют левым сопряжённым к функтору G.

Функтор G : CD — правый сопряжённый функтор, если для каждого объекта Y категории D существует начальная стрелка из Y в G. Если для каждого Y в D выбрать объект F0Y в C, такой, что определена начальная стрелка ηY : YG(F0Y) из Y в G, то существует единственный функтор F : CD, такой, что FY = F0Y и GF(g) ∘ ηY = ηg для g : Y — морфизма в D; G тогда называют правым сопряжённым к функтору F.

Как и подразумевает терминология, верно, что F — левый сопряжённый для G тогда и только тогда, когда G — правый сопряжённый для F. Однако это не очевидно из определения через универсальную стрелку, но очевидно благодаря определению через единицу и коединицу.

Единица и коединица

Для задания единицы и коединицы в категориях C и D нужно зафиксировать два функтора F : CD, G : CD и два естественных преобразования:

,

называемых соответственно коединицей и единицей сопряжения, таких, что композиции

и

являются тождественными преобразованиями 1F и 1G функторов F и G соответственно.

В такой ситуации F является левым сопряжённым для G и G является правым сопряжённым для F. Иногда это отношение обозначают или просто .

В форме уравнений приведённые выше условия на (ε,η) называются уравнениями коединицы и единицы:

Определение через функтор Hom

Рассмотрим два функтора F : CD и G : CD. Пусть существует естественный изоморфизм:

.

Это определяет семейство биекций:

.

для всех объектов X в C и Y в D.

Здесь F называется левым сопряжённым для G и G — правым сопряжённым для F.

Чтобы понять, что подразумевается под естественностью Φ, нужно объяснить, каким образом homC(F-, -) и homD(-, G-) являются функторами. На самом деле, они оба являются бифункторами из Dop × C в Set. В явном виде естественность Φ означает, что для всех морфизмов f : XX в C и морфизмов g : Y ′ → Y в D следующая диаграмма коммутирует:

Примеры

Свободные группы

Конструкция свободной группы является удобным примером для прояснения сути определений. Пусть F : GrpSet — функтор, который множеству Y сопоставляет свободную группу, порожденную элементами Y, и G : GrpSet — забывающий функтор, сопоставляющий группе X её множество-носитель. Тогда F — левый сопряжённый для G:

Терминальные стрелки: для каждой группы X, группа FGX — свободная группа, порождённая элементами X как множеством. Пусть  — гомоморфизм групп, который переводит образующие FGX в соответствующие элементы X. Тогда  — терминальный морфизм из F в X, потому что любой гомоморфизм из свободной группы FZ в X проносится через при помощи единственной функции из множества Z во множество X. Это означает, что (F,G) — пара сопряжённых функторов.

Множества Hom: отображения из свободной группы FY в группу X однозначно соответствуют отображениям множества Y во множество GX: каждый гомоморфизм однозначно определяется своими значениями на образующих свободной группы. Прямым вычислением можно проверить, что это соответствие — естественное преобразование, а значит, пара (F,G) сопряжённая.

Дальнейшие примеры из алгебры

  • Все свободные объекты — результаты применения свободного функтора, который является левым сопряжённым для забывающего функтора.
  • Произведения, ядра и уравнители — примеры категорных пределов. Все функторы предела являются правыми сопряжёнными к диагональному функтору. Аналогично, копроизведения, коядра и коуравнители являются копределами, а функтор копредела — левый сопряжённый для диагонального.
  • Добавление единицы в псевдокольцо (пример из раздела «Мотивировка»). Если нам дано псевдокольцо R, то соответствующее ему кольцо — это произведение R × Z, на котором определено Z-билинейное произведение по формуле (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1). Построенный функтор сопряжён слева к забывающему функтору, отправляющему кольцо в соответствующее ему псевдокольцо.
  • Расширения колец. Пусть R и S — кольца, и ρ : RS — гомоморфизм колец. Тогда S можно рассматривать как (левый) R-модуль, и тензорное произведение с S определяет функтор F : R-ModS-Mod. Здесь F сопряжён слева к забывающему функтору G : S-ModR-Mod.
  • Тензорные произведения. Если R — кольцо и M — правый R-модуль, то тензорное произведение с M определяет функтор F : R-ModAb. Функтор G : AbR-Mod, определенный как G(A) = homZ(M,A) сопряжён справа к F.
  • Поле частных. Для категории Domm целостных колец и инъективных гомоморфизмов, забывающий функтор FieldDomm имеет левый сопряжённый, сопоставляющий каждому целостному кольцу его поле частных.
  • Кольца многочленов'. Для Ring* — категории коммутативных колец с отмеченным элементом и гомоморфизмов, сохраняющих отмеченный элемент, забывающий функтор G:Ring*Ring имеет левый сопряжённый — он сопоставляет кольцу R пару (R[x], x), где R[x] — кольцо многочленов с коэффициентами из R.
  • Абелизация. Забывающий функтор G : AbGrp имеет левый сопряжённый, называемый функтором абелизации, который каждой группе G сопоставляет факторгруппу по коммутанту: Gab = G/[G,G].

Примеры из топологии

Свойства

Существование

Не каждый функтор G : CD имеет левый или правый сопряжённый. Если C — полная категория, то по теореме о сопряжённых функторах Петера Фрейда G имеет левый сопряжённый тогда и только тогда, когда для любого Y из категории D существует семейство морфизмов:

fi : YG(Xi),

где индексы i пробегают множество I, такое, что любой морфизм:

h : YG(X)

может быть записан как:

h = G(t) o fi

для некоторого i в I и некоторого морфизма:

t : XiX в C.

Аналогичное утверждение характеризует функторы, имеющие правый сопряжённый.

Единственность

Если функтор F : CD имеет два правых сопряжённых G и G, то G и G естественно изоморфны.

В другую сторону, если F сопряжён слева к G, и G естественно изоморфен G, то F также сопряжён слева к G.

Композиция

Композиции сопряжений можно брать естественным образом. Если F, G, ε, η〉 — сопряжение между C и D, и F′, G′, ε′, η′〉 — сопряжение между D и E, то функтор

сопряжён слева к функтору

.

Можно образовать категорию, объекты которой — все малые категории, а морфизмы — сопряжения.

Коммутирование с пределами

Наиболее важное свойство сопряжённых функторов — их непрерывность: каждый функтор, имеющий левый сопряжённый (то есть являющийся правым сопряжённым), коммутирует с пределами в категорном смысле. Соответственно, функтор, имеющий правый сопряжённый, конепрерывен, то есть коммутирует с копределами. Поскольку многие конструкции являются пределами или копределами, из этого сразу вытекает несколько следствий. Например:

  • Применение правого сопряжённого функтора к произведению даёт произведение образов.
  • Применение левого сопряжённого функтора к копроизведению даёт копроизведение образов.
  • Каждый правый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен слева.
  • Каждый левый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен справа.

Литература

  • Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
Эта страница в последний раз была отредактирована 6 января 2022 в 01:30.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).