След (теория полей)

След (англ. Trace) — отображение элементов конечного расширения поля $E\supset K$ в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени $n=[E:K]$ , $\alpha \in E$ — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование $x\mapsto \alpha x$ . Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается ${\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )$ или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто ${\text{Tr}}(\alpha )$ .

Свойства следа

${\text{Tr}}(\alpha +\beta )={\text{Tr}}(\alpha )+{\text{Tr}}(\beta )$
${\text{Tr}}(c\alpha )=c{\text{Tr}}(\alpha )$ при $c\in K$
Если Е — сепарабельное расширение, то ${\text{Tr}}_{K}^{E}$ — ненулевой функционал, если несепарабельно, то ${\text{Tr}}_{K}^{E}=0$ .
След транзитивен, то есть для цепочки расширений $K\subset E\subset F$ имеем ${\text{Tr}}_{K}^{E}({\text{Tr}}_{E}^{F}(\alpha ))={\text{Tr}}_{K}^{F}(\alpha )$
Если $E=K(\alpha )$ — простое алгебраическое расширение и $f(x)=x_{n}+a^{n-1}x_{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ — минимальный многочлен α, то ${\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )=-a_{n-1}$

Выражение следа через автоморфизмы E над K

Пусть σ₁,σ₂…σ_m — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:

${\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha )$

Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pⁱm.

Тогда ${\text{Tr}}_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )+\ldots +\sigma _{m}(\alpha ))^{m/n}$

Пример

Пусть K — поле действительных чисел, а E — поле комплексных чисел. Тогда след числа $a+bi$ равен $2a$ . След комплексного числа можно вычислить по формуле ${\text{Tr}}\;z=z+{\bar {z}}$ , и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение — единственный автоморфизм поля комплексных чисел.