Скин-эффект

Пове́рхностный эффе́кт, скин-эффект — эффект уменьшения амплитуды электромагнитных волн по мере их проникновения вглубь проводящей среды. В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.

Объяснение поверхностного эффекта

Физическая картина возникновения

Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течёт ток. Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма силовых линий при этом остаётся прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

создаёт электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля. Вектор напряжённости индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряжённости электрического поля, создающего ток, а в более дальних — совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, то есть возникает скин-эффект.

Уравнение, описывающее скин-эффект

Исходим из уравнения Максвелла:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu \mathbf {j} }$

и выражения для ${\displaystyle \mathbf {j} }$ по закону Ома:

${\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} .}$

Дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим:

${\displaystyle \operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},}$

${\displaystyle -\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},}$

здесь ${\displaystyle \gamma }$ — удельная проводимость материала проводника, ${\displaystyle \gamma =1/\rho ,\ \ }$ ${\displaystyle \rho }$ — удельное сопротивление материала проводника.

Поскольку ${\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {E} -\nabla ^{2}\mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} =0}$ окончательно получаем:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$.

здесь ${\displaystyle \mu }$ — абсолютная магнитная проницаемость материала проводника, ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\mu _{m},\ \ }$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнитная проницаемость вакуума, ${\displaystyle \mu _{m}}$ — относительная магнитная проницаемость материала проводника.

Для упрощения решения предположим, что ток течёт вдоль оси ${\displaystyle X}$ по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство ${\displaystyle y>0}$. Поверхностью проводника является плоскость ${\displaystyle Y=0.}$ Таким образом:

${\displaystyle j_{x}=j_{x}(y,t),\qquad j_{y}=j_{z}=0,}$

${\displaystyle E_{x}=E_{x}(y,t),\qquad E_{y}=E_{z}=0.}$

Тогда:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}=\mu \gamma {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}.}$

В этом уравнении все величины гармонически зависят от ${\displaystyle t,}$ и можно положить:

${\displaystyle E_{x}(y,t)=E_{0}(y)e^{i\omega t},}$

здесь ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота.

Подставим это в наше уравнение и получим уравнение для ${\displaystyle E_{0}(y):}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial y^{2}}}=i\gamma \mu \omega E_{0}.}$

Общее решение этого уравнения:

${\displaystyle E_{0}=A_{1}e^{-ky}+A_{2}e^{ky}.}$

Учитывая, что ${\displaystyle k={\sqrt {i\gamma \mu \omega }}=\alpha (1+i)}$, где ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {\gamma \mu \omega }{2}}}}$, находим:

${\displaystyle E_{0}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{-i\alpha y}+A_{2}e^{\alpha y}e^{i\alpha y}.}$

При удалении от поверхности проводника (${\displaystyle y\rightarrow \infty }$) второе слагаемое неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, ${\displaystyle A_{2}=0}$, и в качестве физически приемлемого решения остаётся только первое слагаемое. Тогда решение задачи имеет вид:

${\displaystyle E_{x}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{i(\omega t-\alpha y)}.}$

Взяв действительную часть от этого выражения и перейдя с помощью соотношения ${\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} }$ к плотности тока, получим:

${\displaystyle j_{x}(y,t)=A_{1}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}.}$

Принимая во внимание, что ${\displaystyle j_{x}(0,0)=j_{0}}$ — амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объёмной плотности тока в проводнике:

${\displaystyle j_{x}(y,t)=j_{0}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}.}$

Толщина скин-слоя

Плотность тока максимальна у поверхности проводника. При удалении от поверхности она убывает экспоненциально и на глубине ${\displaystyle \delta }$ становится меньше в е раз (примерно на 70 %). Эта глубина называется толщиной скин-слоя и на основании приведённого выше равна:

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {\frac {2}{\gamma \mu \omega }}}.}$

Толщина скин-слоя в меди

Частота	${\displaystyle \delta ,}$ мм	Примечания
50 Гц	9,34 мм	50 Гц — частота электросети в большинстве стран Евразии и Африки
60 Гц	8,53 мм	60 Гц — частота электросети в Северной, Центральной и частично Южной Америке
10 кГц	0,66 мм
100 кГц	0,21 мм
500 кГц	0,095 мм
1 МГц	0,067 мм
10 МГц	0,021 мм

Очевидно, что при достаточно большой частоте ${\displaystyle \omega }$ толщина скин-слоя может быть очень малой. Также из экспоненциального убывания плотности тока следует, что практически весь ток сосредоточен в слое толщиной в несколько ${\displaystyle \delta }$, так, уменьшение плотности тока в 100 раз происходит на глубине ${\displaystyle \approx {\text{4,6}}\ \delta }$, если общая толщина проводника многократно превышает толщину скин-слоя. В качестве примера в таблице приведена зависимость толщины скин-слоя от частоты для медного проводника.

Если проводник имеет ферромагнитные свойства, то толщина скин-слоя будет во много раз меньше. Например, для стали (${\displaystyle \mu _{m}\ }$= 1000) ${\displaystyle \delta \ }$= 0,74 мм. Это имеет значение, например, при электрификации железных дорог, поскольку там стальные рельсы используются в качестве обратного провода.

Для расчёта толщины скин-слоя в металле можно использовать следующие приближённые формулы:

${\displaystyle \Delta =c{\sqrt {2{\frac {\varepsilon _{0}}{\omega \mu _{m}}}\rho }},}$

здесь ${\displaystyle \ \varepsilon _{0}}$ = 8,85419⋅10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная, ${\displaystyle \ \rho }$ — удельное сопротивление, ${\displaystyle \ c}$ — скорость света, ${\displaystyle \ \mu _{m}}$ — относительная магнитная проницаемость (близка к единице для пара- и диамагнетиков — меди, серебра, и т. п.), ${\displaystyle \ \omega =2\pi \cdot f,\ \ }$ ${\displaystyle \ f\ }$ — частота.

Все величины выражены в системе СИ.

Практически удобная формула:

${\displaystyle \Delta =503{\sqrt {\frac {\rho }{\mu _{m}f}}}.}$

Аномальный скин-эффект

Изложенная теория справедлива лишь при условии, что толщина скин-слоя много больше средней длины свободного пробега электронов, так как мы предполагаем, что при своём движении электрон непрерывно теряет энергию на преодоление омического сопротивления проводника, в результате чего происходит выделение джоулевой теплоты. Такое соотношение справедливо в весьма широких пределах, однако даже при комнатной температуре длина свободного пробега электрона для металлов сопоставима с глубиной скин-слоя — что говорит об аномальном характере эффекта. При очень низкой температуре ситуация только усугубляется^[1]: проводимость сильно повышается, а следовательно, увеличивается длина свободного пробега и уменьшается толщина скин-слоя. При этих условиях механизм, приводящий к образованию скин-эффекта, уже не действует. Эффективная толщина слоя, в котором сосредоточен ток, изменяется. Такое явление называется аномальным скин-эффектом.

Применение

На скин-эффекте основано действие взрывомагнитных генераторов (ВМГ), взрывомагнитных генераторов частоты (ВМГЧ) и в частности ударно-волновых излучателей (УВИ)^{[источник не указан 1169 дней]}.

Благодаря скин-эффекту в высокочастотном магнитном поле теплота выделяется преимущественно в поверхностном слое. Это позволяет нагревать проводник в тонком поверхностном слое без существенного изменения температуры внутренних областей. Это явление используется в важном, с промышленной точки зрения, методе поверхностной закалки металлов, реализуемом на основе индукционного нагрева.

Помимо поверхностной закалки, в индукционном нагреве скин-эффект позволяет реализовать технологию индукционного удаления полимерных покрытий, широко используемую при ремонте магистральных нефте- и газопроводов, ремонте палубных покрытий морских судов и т. п.^[2]

Учёт эффекта в технике и борьба с ним

Скин-эффект проявляется существеннее с увеличением частоты переменного тока, и учитывается при конструировании и расчётах электрических схем, работающих на переменном и импульсном токах. Так как ток высокой частоты течёт по тонкому поверхностному слою проводника, общее активное сопротивление проводника возрастает, что приводит к быстрому затуханию колебаний высокой частоты.

Скин-эффект влияет на характеристики катушек индуктивности и колебательных контуров, такие как добротность, на затухание в линиях передачи, на характеристики фильтров, на расчёты тепловых потерь и КПД, на выбор сечений проводников.

Для уменьшения влияния скин-эффекта применяют проводники различного сечения: плоские (в виде лент), трубчатые (полые внутри), наносят на поверхность проводника слой металла с более низким удельным сопротивлением. Например, серебро обладает наибольшей удельной проводимостью среди всех металлов и технологично для нанесения на металлические поверхности. Тонкий его слой, в котором из-за скин-эффекта и протекает бо́льшая часть тока, оказывает заметное снижение (до 10 %) активного сопротивления проводника. Однако, слой сульфида, образующийся на поверхности серебра, не проводит ток и не участвует в скин-эффекте, в отличие от слоя окиси-закиси на поверхности меди, обладающего заметной проводимостью, и имеет свойства полупроводника, и вносит дополнительные потери на высоких частотах.

Покрытие серебром также применяется в сверхвысокочастотном оборудовании, использующем колебательные контуры особой формы: объёмные резонаторы и специфические линии передачи — волноводы. Кроме того, на таких частотах уделяют внимание снижению шероховатости поверхности с целью уменьшения длины пути протекания тока.

Также применяется и покрытие золотом, у которого слой окислов отсутствует. Напротив, покрытие никелем, оловом или оловянно-свинцовым припоем способно значительно, в несколько раз увеличить сопротивление медных проводников на высоких частотах.

Так, в ВЧ аппаратуре используют катушки индуктивности, намотанные из посеребрённого провода, часто серебрят печатные и проволочные проводники, поверхности экранов и обкладки конденсаторов. В высоковольтных линиях электропередач иногда применяют провод в медной либо алюминиевой оболочке со стальным сердечником^{[источник не указан 1169 дней]}, в мощных генераторах переменного тока обмотка изготавливается из трубок, по которым для охлаждения циркулирует дистиллированная вода.

Также с целью снижения скин-эффекта используют систему из нескольких переплетённых и изолированных проводов — намоточный провод литцендрат.

При передаче больших мощностей на значительные расстояния применяются линии электропередачи постоянного тока — HVDC, постоянный ток не вызывает скин-эффекта.

Примечания

Литература

• Матвеев А. Н. Параграф 53 // Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
• Власов A. A. Глава VI. Параграф 5 // Макроскопическая электродинамика. — 2-е изд.. — М.: Наука, 2005.
• Электромагнитная экранировка. Модель скин-эффекта / Гервидс, Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.

Эта страница в последний раз была отредактирована 25 августа 2023 в 10:37.