Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Симплектическое многообразие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Симплектическое многообразие позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам.

Определение

Дифференциальная 2-форма называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

и для любого ненулевого касательного вектора найдётся вектор такой, что

Многообразие с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.

Замечания

  • Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
  • Если размерность равна , то невырожденость формы эквивалентна условию .

Связанные определения

  • Диффеоморфизм симплектических многообразий называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.
  • Пусть  — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции векторное поле , определяемое следующим тождеством:
    • Это определение аналогично определению градиента и иногда называется симплектическим градиентом функции .
    • Поле , которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
    • В силу невырожденности формы векторное поле определено однозначно. Будем обозначать его . В координатах Дарбу это отображение принимает вид
соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом называется функцией Гамильтона или гамильтонианом.

Свойства

  • Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид
При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.
  • Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:
Здесь  — производная Ли по векторному полю . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

Контактная структура

С каждым симплектическим -мерным многообразием каноническим образом связано -мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого -мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся -мерным многообразием.

Вариации и обобщения

Многообразие называется мультисимплектическим степени , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. также

Ссылки

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
  • Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К.: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
  • Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.
Эта страница в последний раз была отредактирована 26 мая 2021 в 15:33.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).