Симплектическая геометрия — область дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии, изучающая симплектические многообразия: гладкие многообразия с выбранной замкнутой невырожденной 2-формой.
Симплектическая геометрия имеет как сходства, так и различия с римановой геометрией, изучающей многообразия с выбранной квадратичной положительно определённой формой — метрическим тензором, — позволяющей определить расстояния на многообразии. В отличие от случая римановой геометрии, на симплектических многообразиях нет локального инварианта, каким в римановом случае является кривизна. Это следует из теоремы Дарбу, утверждающей, что достаточно малая окрестность любой точки 2n-мерного симплектического многообразия изоморфна некоторой области со стандартной симплектической формой:
- .
Ещё одним отличием от римановой геометрии является то, что не на любом многообразии можно задать симплектическую структуру: имеется ряд топологических ограничений. Так, многообразие должно быть чётномерным и ориентируемым. Кроме того, для случая замкнутого многообразия его вторая группа гомологий должна быть нетривиальной: симплектическая форма на компактном многообразии без края не может быть точной.
Исходно симплектическая геометрия возникла из гамильтонова формализма в классической механике, когда фазовое пространство для классической системы оказывалось симплектическим многообразием. В симплектической геометрии начался расцвет в 1980-х годах благодаря формулировке гипотезы Арнольда и результатам Михаила Громова и Андреаса Флёра о псевдоголоморфных кривых[1].
Энциклопедичный YouTube
-
1/3Просмотров:1 4571 147310
-
Д.О. Орлов. Некоммутативная алгебраическая геометрия: от математики к физике и обратно
-
В.А. Тиморин. Множество Мандельброта и его кубический аналог
-
А.Г. Кузнецов. «Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах»
Субтитры
Примечания
- ↑ Kevin Hartnett. A Fight to Fix Geometry’s Foundations . Quanta Magazine (9 февраля 2017). Дата обращения: 19 ноября 2022. Архивировано 29 января 2022 года.
Литература
- Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: МГУ, 1988. — 413 с. — ISBN 5-211-00083-8.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.