Серебряное сечение

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа δs
Двоичная	10.0110101000001001111…
Десятичная	2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь	${\displaystyle 2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения. Наиболее последовательным является следующее:

1. Две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей равно отношению большей величины к меньшей:

${\displaystyle ~~~~~{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}~}$, где a - большее число, b - меньшее число.

1. Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ или приблизительно 2,4142135623. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 70/29.

В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников^[en] Джея Хембриджа^[en]. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Обозначим далее серебряное сечение через ${\displaystyle \delta _{S}}$ (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

${\displaystyle {\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}\,.}$

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

Формулы

• ${\displaystyle \delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210}$. Это следует из ${\displaystyle (\delta _{S}-1)^{2}=2\,.}$

• ${\displaystyle \delta _{S}=[2;2,2,2,\dots ]}$ — в виде цепной дроби:

${\displaystyle \delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.}$

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

В виде бесконечных вложенных радикалов:

• ${\displaystyle \delta _{S}=2{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+...}}}}}}}$.
• ${\displaystyle \delta _{S}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+...}}}}}}}$.

Другие определения

Встречаются и другие определения серебряного сечения.

Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

${\displaystyle [n;n,n,n,\dots ]}$.

Литература

• Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90-95, 252.

Примечания

Ссылки

• Explanation of Silver Means
• Weisstein, Eric W. Silver Ratio (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Числа Пелля
• Пластическое число
• Золотое сечение
• Вера де Шпинадель (1999) The Family of Metallic Means, Vismath 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts

Эта страница в последний раз была отредактирована 13 апреля 2024 в 10:28.