Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.
Определение
Секционная кривизна — это функция
, которая зависит от секционного направления
в точке
(то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в
). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке
.
Свойства
- Если
— два линейно независимых вектора в
, то
где ![{\displaystyle K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9345411559579911e33bd1ef7679b8053988aae3)
- а
обозначает преобразование кривизны.
- Эту формулу можно переписать следующим образом
![{\displaystyle K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e8fa0c17a8e9835a63142c599b24db4d8ca2ec)
- Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:
![{\displaystyle 6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f19008200c57b1276f228e9611540029b99207f)
![{\displaystyle [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1349166bc3d6062f197e05df0918b5a6bfa8bbab)
![{\displaystyle [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609d1e4292af47e53fdd34fc0504e45858b37397)
- более простой форме, используя частные производные:
![{\displaystyle \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cc4006c80895b039c568583fdebfe706e56ade)
- Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.
Эта страница в последний раз была отредактирована 18 ноября 2022 в 14:02.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.