Свёртка тензора

Свёртка в тензорном исчислении — операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности $(m,n)$ в тензор валентности $(m-1,n-1)$ .

Определение

В простейшем случае, свёртка для простого тензора $v\otimes f$ типа $(1,1)$ , определяется как скаляр $f(v)$ . Эта операция продолжается линейно на все тензоры типа $(1,1)$ .

В общем случае, тензор типа $(m,n)$ можно рассматривать как линейное отображение из пространства тензоров валентности $(n-1,m-1)$ в пространство тензоров валентности $(1,1)$ ; для выбора такого представления надо выбрать ко- контравариантный индекс. Свёртка образа даёт отображение из пространства тензоров валентности $(n-1,m-1)$ в скаляры, то есть тензор валентности $(m-1,n-1)$ . Он и называется свёрткой тензора по двум данным индексам.

Обозначения

В координатах она записывается следующим образом:

{T_{j_{1},\dots ,{\underline {j_{0}}},\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,{\underline {i_{0}}},\dots ,i_{n}}}\rightarrow {T_{j_{1},\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,i_{n}}}={T_{j_{1},\dots ,{\underline {i_{0}}},\dots ,j_{n}}^{i_{1},\dots ,{\underline {i_{0}}},\dots ,i_{n}}}

где применено правило суммирования Эйнштейна по повторяющимся разновариантным (верхнему и нижнему) индексам, то есть в данном случае по $i_{0}$ .

Часто операцию свёртки проводят над тензорами, являющимися произведениями тензоров, или, короче, производят свёртку двух или нескольких тензоров.

Например, $A_{j}^{i}B_{k}^{j}$ есть запись обыкновенного перемножения матрицы A на матрицу B, то есть, в обычной матричной записи, записывая индексы внизу и не опуская знак суммы, это

\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}

В принципе свёртка всегда проводится по верхнему и нижнему индексам, однако в случае если задан метрический тензор, ко- и контравариантные индексы можно однозначно переводить друг в друга (поднимать и опускать), поэтому свёртку можно вести по любой паре индексов, используя метрический тензор, если оба индекса верхние или нижние. Например:

A_{ij}B_{jk}=A_{ij}g^{jm}B_{mk}=A_{ij}B_{\ k}^{j}=C_{ik}

Замечание: операция свёртки определена и имеет смысл не только для тензорных объектов. Во всяком случае, в компонентах совершенно та же операция применяется для свертки с матрицами преобразования координат (матрицами Якоби) и с компонентами аффинной связности, не являющимися представлениями тензоров. Эти свёртки имеют так же ясный геометрический смысл и играют важную роль в тензорном анализе, к тому же используются для построения представления настоящих тензорных объектов, таких как тензор кривизны.

Примеры

Свёртка тензора по паре индексов, по которым он анти(косо)симметричен, даёт нулевой тензор.
Свёртка $A_{\ j}^{i}v^{j}$ вектора v с тензором A ранга (1,1) представляет умножение вектора на линейный оператор, каковым такой тензор является по отношению к вектору.
Свёртка $\ B_{ij}a^{i}b^{j}$ векторов a и b с тензором B ранга (0,2) является билинейной формой; так свёртка двух векторов с метрическим тензором $\ g_{ij}a^{i}b^{j}$ дает их скалярное произведение.
В том числе $\ B_{ij}v^{i}v^{j}$ — квадратичная форма; именно таким образом свертка с метрическим тензором дает квадрат нормы вектора.
Свёртка $\ a_{j}b^{j}$ ковариантного и контравариантного вектора дает действие 1-формы на вектор, или, если считать ковариантные компоненты просто дуальным представлением настоящего вектора, то это скалярное произведение двух векторов, один из которых представлен в дуальном базисе.
Свёртка $A_{\ j}^{j}$ тензора A ранга (1,1) (с собой) является следом матрицы $A_{\ j}^{i}$ . Это простейший случай построения (скалярного) инварианта из тензора.
Действие линейного оператора на пространстве тензоров некоторого определенного ранга есть свёртка с тензором вдвое большего ранга, столько же раз ковариантного, сколько контравариантного, например (в координатной записи): $B_{jk}^{i}=L_{jkp}^{i\ \ \ qr}A_{qr}^{p}$