Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Свободное от квадратов число

Из Википедии — свободной энциклопедии

В математике свободным от квадратов, или бесквадратным, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 — свободное от квадратов, а 18 — нет, так как 18 делится на 9 = 32. Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … последовательность A005117 в OEIS

Теория колец обобщает понятие бесквадратности следующим образом:

Элемент r факториального кольца R называется свободным от квадратов, если он не делится на нетривиальный квадрат.

Свободные от квадратов элементы также могут быть охарактеризованы исходя из их разложения на простые сомножители: любой ненулевой элемент r может быть представлен в виде произведения простых элементов

,

причем все простые сомножители pi различны, а  — некоторая единица (обратимый элемент) кольца.

Эквивалентная характеристика чисел, свободных от квадратов

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители ни одно простое число не встречается больше одного раза. По-другому это можно выразить так: для любого простого делителя p числа n, число p не делит n / p. Или, число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда для любого его разложения на множители n = ab, множители a и b взаимно просты.

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда , где обозначает функцию Мёбиуса.

Ряд Дирихле, порождающий свободные от квадратов числа:

где  — дзета-функция Римана.

Это сразу видно из произведения Эйлера:

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда все абелевы группы порядка n изоморфны друг другу, что верно в том и только в том случае, когда они все — циклические. Это следует из классификации конечнопорождённых абелевых групп.

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда факторкольцо (см. сравнение по модулю) есть произведение полей. Это следует из китайской теоремы об остатках и того факта, что кольцо  — поле тогда и только тогда, когда k — простое число.

Для любого положительного числа n множество всех положительных его делителей представляет собой частично упорядоченное множество, если мы положим в качестве порядка отношение «делимости». Это частично упорядоченное множество — всегда дистрибутивная решётка. Оно — Булева алгебра в том и только в том случае, когда n свободно от квадратов.

Радикал целого числа всегда свободен от квадратов.

Плотность свободных от квадратов чисел

Пусть задаёт число свободных от квадратов чисел в промежутке от 1 до x. Для большого n, 3/4 положительных чисел, меньших n не делятся на 4, 8/9 этих чисел не делятся на 9 и т. д.. Так как эти события независимы, получаем формулу:

Можно получить формулу без дзета-функции:

(см. pi и «O» большое и «o» малое). Согласно гипотезе Римана, оценка может быть улучшена:[1]

Вот как ведёт себя разность числа свободных от квадратов чисел до n и на сайте OEIS: A158819 — (Number of square-free numbers ≤ n) minus round(n/ζ(2)). 

Таким образом асимптотическая плотность свободных от квадратов чисел выглядит так:

Где  — дзета-функция Римана а (то есть, примерно 3/5 всех чисел свободны от квадратов).

Аналогично, если означает число n-свободных чисел (то есть 3-свободные числа не содержат кубов) между 1 и x, то:

Кодирование двоичными числами

Если представить свободное от квадратов число в качестве бесконечного произведения вида

где , а  — n-е простое число, то мы можем выбирать эти коэффициенты и использовать их в качестве битов в бинарной кодировке:

К примеру, свободное от квадратов число 42 раскладывается как 2 × 3 × 7, или как бесконечное произведение: 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 · …; Таким образом, число 42 кодируется последовательностью ...001011 или 11 в десятичной системе. (в бинарной кодировке биты пишутся наоборот.) А так как разложение на простые множители каждого числа — уникально, то уникален и бинарный код каждого свободного от квадратов числа.

Обратное так же верно: так как у каждого положительного числа — уникальный бинарный код, его можно декодировать, получая уникальные числа, свободные от квадратов.

Возьмём опять для примера число 42 — на этот раз просто в качестве положительного числа. Тогда мы получаем бинарный код 101010 — это означает: 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273.

С точки зрения мощностей, это означает, что мощность множества чисел, свободных от квадратов, совпадает с мощностью множества всех натуральных чисел. Что в свою очередь означает, что кодирования свободных от квадратов чисел по порядку — в точности перестановка множества натуральных чисел.

См. последовательности A048672 и A064273 на сайте OEIS.

Гипотеза Эрдёша

Центральный биномиальный коэффициент не может быть свободен от квадратов для n > 4.

Это предположение Эрдёша о бесквадратности было доказано в 1996 году математиками Оливьером Рамарэ и Эндрю Грэвиллом.

См. также

Литература

  • Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 385 с.

Примечания

  1. Jia, Chao Hua. «The distribution of square-free numbers», Science in China Series A: Mathematics 36:2 (1993), pp. 154—169. Cited in Pappalardi 2003, A Survey on k-freeness Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine; также см. Kaneenika Sinha, «Average orders of certain arithmetical functions», Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21:3 (2006), pp. 267—277.
Эта страница в последний раз была отредактирована 17 декабря 2019 в 01:22.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).