Решётка Лича

Решётка Лича — решётка определённого типа в 24-мерном пространстве.

Построения

Конструкция через код Голея

Решётка Лича может быть определена с помощью кода Голея ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ типа ${\displaystyle [24,12,8]}$ как образ при сжатии в ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ раз множества векторов ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{24})\in \mathbb {Z} ^{24}}$ таких, что

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

и для каждого класса j вычетов по модулю 4 двоичное 24-битовое слово v, заданное как

${\displaystyle v_{i}={\begin{cases}1,&a_{i}\equiv j{\pmod {4}},\\0,&a_{i}\not \equiv j{\pmod {4}},\end{cases}}}$

принадлежит ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Конструкция через псевдоевклидово пространство сигнатуры (25,1)

Решётка Лича может быть построена с помощью псевдоевклидова пространства сигнатуры (25,1). А именно, в этом пространстве рассматривается чётная унимодулярная решётка ${\displaystyle \mathrm {II} _{25,1}}$, состоящая из векторов ${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{25})}$, у которых все координаты одновременно целые или одновременно полуцелые, и при этом ${\displaystyle x_{0}+\dots +x_{24}-x_{25}\in 2\mathbb {Z} }$, иными словами, скалярное произведение с вектором из всех единиц чётно.

Такой решётке принадлежит изотропный вектор ${\displaystyle u=(0,1,\dots ,24,70)}$. Отметим, что в силу изотропности ${\displaystyle u\in \langle u\rangle ^{\perp }}$, поэтому можно рассмотреть факторпространство ${\displaystyle \langle u\rangle ^{\perp }/\langle u\rangle }$. Ограничение скалярного произведения на это факторпространство (опять-таки, в силу изотропности ${\displaystyle u}$) корректно определено и оказывается положительно определённым. Образ ${\displaystyle (\langle u\rangle ^{\perp }\cap \mathrm {II} _{25,1})/\langle u\rangle }$ пересечения исходной решётки с ортогональным дополнением при такой факторизации и будет решёткой Лича в получившемся 24-мерном евклидовом пространстве^[1].

Свойства

• Решётка Лича является чётной самодвойственной (в частности, унимодулярной) решёткой с длиной кратчайшего вектора равной 2.

• Решётка Лича реализует максимально возможное^[2][3] контактное число в размерности 24. Её контактное число равно^[2][3] 196560

• Решётка Лича реализует плотнейшую^[4][5] упаковку шаров в размерности 24. Плотность упаковки решётки Лича составляет ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930}$.

• Группа автоморфизмов решётки Лича — группа Конвея Co₀. Она включает в себя некоторые спорадические группы, в том числе Co₁ как факторгруппу Co₀ по инверсии пространства, Co₂^[en] и Co₃^[en] как подгруппы. Группа Конвея имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000. Хотя вращательная симметрия решётки Лича очень высока, её группа автоморфизмов не включает никаких отражений; иными словами, решётка Лича хиральна.

См. также

• Решётка E8

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.

Примечания

Эта страница в последний раз была отредактирована 1 ноября 2023 в 03:56.