Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Рефлексивное пространство

Из Википедии — свободной энциклопедии

Рефлексивное пространство — банахово пространство (в более общем случае локально выпуклое пространство) , совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным .

Рефлексивные банаховы пространства

Пусть  — банахово пространство над полем комплексных чисел[1], а  — пространство, сопряженное к , то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов с нормой

.

Второе сопряженное пространство определяется как пространство, сопряженное к . При фиксированном отображение является линейным непрерывным функционалом на , то есть элементом пространства . Поэтому определено отображение , , , . Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения , то есть условие .

Примеры

Свойства

  • Пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда рефлексивно.
  • Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
  • Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например .
  • Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства обозначим через пространство линейных непрерывных функционалов на , наделенное сильной топологией , то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в . Пространство называется сопряженным пространством к пространству . Как и в банаховом случае второе сопряженное пространство определяется как пространство, сопряженное к . Формула , , определяет естественное отображение пространства во второе сопряженное пространство .

Если отображение является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

  • В частном случае, когда пространство банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства.
  • Пространство гладких функций на гладком многообразии рефлексивно.
  • Пространство голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии рефлексивно.

Стереотипные пространства и другие обобщения рефлексивности

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств) используемых в функциональном анализе класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия путём переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства . По контрасту с классическими рефлексивными пространствами класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого факторпространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения, и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в в определении сопряженного пространства другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств в — пространства определенные соответствующим условием рефлексивности называются рефлективными[2][3], и они образуют даже более широкий класс чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.

Литература

  • Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
  • Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
  • Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
  • Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

Примечания

  1. …или над полем вещественных чисел с аналогичным определением.
  2. Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, F.J., Vera Mendoza, R. A characterization of Pontryagin-van Kampen duality for locally convex spaces (англ.) // Topology and its Applications  (англ.) : journal. — 2002. — Vol. 121. — P. 75—89.
  3. Akbarov, S. S.; Shavgulidze, E. T. On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin (англ.) // Mat. Sbornik : journal. — 2003. — Vol. 194, no. 10. — P. 3—26.
Эта страница в последний раз была отредактирована 10 марта 2022 в 14:58.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).