Пятиугольник Роббинса

Пятиугольник Роббинса — это вписанный пятиугольник, стороны которого и площадь являются рациональными числами.

История

Бухгольц и МакДугал назвали пятиугольник именем Роббинса ^[1] в честь Дэвида Роббинса, давшего формулу для вписанного пятиугольника как функции длин сторон. Бухгольц и МакДугал выбрали это имя по аналогии с названием треугольника Герона именем Герона, открывателя формулы Герона для площади треугольника как функции от его сторон.

Площадь и периметр

Любой пятиугольник Роббинса можно привести, путём изменения размеров, к пятиугольнику, стороны и площадь которого являются целыми числами. Более того, Бухгольц и МакДугал показали, что если стороны являются целыми числами и площадь является рациональным числом, то площадь тоже будет целым числом, а периметр будет чётным.

Диагонали

Бухгольц и МакДугал также показали, что в любом пятиугольнике Роббинса либо все пять внутренних диагоналей являются рациональными числами, либо ни одна из диагоналей рациональной не является. Если пять диагоналей рациональны (этот случай Састри назвал пятиугольником Брахмагупты^[2]), то радиус его описанной окружности тоже должен быть рациональным, и пятиугольник можно разложить на три треугольника Герона по любым двум непересекающимся диагоналям или на пять треугольников Герона разрезанием вдоль радиусов от центра к вершинам.

Бухгольц и МакДугал провели компьютерный поиск пятиугольников Роббинса с иррациональными диагоналями, но безуспешно. На основе этого они предположили, что пятиугольники Роббинса с иррациональными диагоналями не существуют.

Примечания

Литература

• Ralph H. Buchholz, James A. MacDougall. Cyclic polygons with rational sides and area // Journal of Number Theory. — 2008. — Т. 128, вып. 1. — С. 17–48. — doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005..
• David P. Robbins. Areas of polygons inscribed in a circle // Discrete and Computational Geometry. — 1994. — Т. 12, вып. 2. — С. 223–236. — doi:10.1007/BF02574377.
• David P. Robbins. Areas of polygons inscribed in a circle // The American Mathematical Monthly. — 1995. — Т. 102, вып. 6. — С. 523–530. — doi:10.2307/2974766..
• K. R. S. Sastry. Construction of Brahmagupta n-gons // Forum Geometricorum. — 2005. — Т. 5. — С. 119–126..

Эта страница в последний раз была отредактирована 12 марта 2020 в 09:33.