Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Альтернативы
Недавние
Show all languages
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

Пфа́ффово уравнение — уравнение вида , где дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия размерности . Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.

Если на многообразии введены (локальные) координаты , то пфаффово уравнение (локально) имеет вид

где — скалярные функции, заданные на . Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:

.

Пфаффова система

Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида , где — дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия размерности . В координатах пфаффова система имеет вид

Рангом пфаффовой системы в точке называется число , равное рангу матрицы . Обычно бывает .

Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве векторное подпространство размерности , которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при распределение является полем направлений на , при распределение является полем двумерных плоскостей, а при распределение является полем гиперплоскостей.

Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат одну (например, ) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на , получаем систему ОДУ первого порядка:

где .

Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию .

Интегрирование пфаффовых систем

Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей в многообразии , на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к содержится в допустимом подпространстве системы (*).

Пфаффова система (*) постоянного ранга называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия проходит интегральная поверхность максимально возможной размерности .

В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии приводится к каноническому виду

Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:

где означает внешний дифференциал 1-формы и означает внешнее произведение форм.

Примеры

  • Пфаффово уравнение вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости в трёхмерном пространстве. С помощью замены это уравнение приводится к каноническому виду Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как
  • Пфаффово уравнение не является вполне интегрируемым. В этом случае и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:

См. также

Литература

  • Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
  • Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
Эта страница в последний раз была отредактирована 18 марта 2021 в 09:06.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).