Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Процесс Грама ― Шмидта

Из Википедии — свободной энциклопедии

Процесс ГрамаШмидта преобразует последовательность линейно независимых векторов в ортонормированную систему векторов , причём так, что каждый вектор есть линейная комбинация .

Классический процесс Грама — Шмидта

Алгоритм

Пусть имеются линейно независимые векторы и пусть  — оператор проекции вектора на вектор , определённый как

где  — скалярное произведение векторов и .

Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:

На основе каждого вектора может быть получен нормированный вектор единичной длины, определённый как

Результаты процесса Грама — Шмидта:

 — система ортогональных векторов либо

 — система ортонормированных векторов.

Вычисление носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а  — ортонормализации Грама — Шмидта.

Геометрическая интерпретация

Рис. 1. Второй шаг процесса Грама — Шмидта
Рис. 1. Второй шаг процесса Грама — Шмидта

Рассмотрим формулу (2) — второй шаг алгоритма. Её геометрическое представление изображено на рис. 1:

  1. получение проекции вектора на ;
  2. вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование на . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (2) вектор ;
  3. перемещение полученного на шаге 2 вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности;

На рисунке видно, что вектор ортогонален вектору , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на .

Рассмотрим формулу (3) — третий шаг алгоритма — в следующем варианте:

Её геометрическое представление изображено на рис. 2:

Рис. 2. Третий шаг процесса Грама — Шмидта
Рис. 2. Третий шаг процесса Грама — Шмидта
  1. получение проекции вектора на ;
  2. получение проекции вектора на ;
  3. вычисление суммы , то есть проекции вектора на плоскость, образуемую векторами и . Эта плоскость закрашена на рисунке серым цветом;
  4. вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование на плоскость, образуемую векторами и . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (6) вектор ;
  5. перемещение полученного в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (6).

На рисунке видно, что вектор ортогонален векторам и , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на плоскость, образуемую векторами и .

Таким образом, в процессе Грама — Шмидта для вычисления выполняется проецирование ортогонально на гиперплоскость, натянутую на векторы . Вектор затем вычисляется как разность между и его проекцией. То есть  — это перпендикуляр от к гиперплоскости, натянутой на векторы . Поэтому ортогонален векторам, образующим эту гиперплоскость.

Особые случаи

Процесс Грама — Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.

Кроме того, процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт (нулевой вектор) на шаге , если является линейной комбинацией векторов . Для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортогонализации алгоритм должен отбрасывать нулевые векторы. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (то есть количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).

Свойства

  • Произведение длин равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах системы как на рёбрах.

Дополнительные толкования

Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами ― QR-разложение, что является частным случаем разложения Ивасавы[источник не указан 905 дней].

Литература

  • Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука.

Ссылки


Эта страница в последний раз была отредактирована 23 марта 2021 в 12:36.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).