Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Из Википедии — свободной энциклопедии

(также встречается обозначение ; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их -я степень интегрируема, где .

 — важнейший класс банаховых пространств. (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение

Для построения пространств используются -пространства. Пространство для пространства с мерой и  — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

.

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство линейно.

На линейном пространстве вводится полунорма:

.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы[1]

Далее, на вводится отношение эквивалентности: , если почти всюду. Это отношение разбивает пространство на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство с построенной на нём нормой, и называется пространством или просто .

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[2], однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота

Норма на вместе с линейной структурой порождает метрику:

,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций называют сходящейся к функции , если:

при .

По определению, пространство полно, когда любая фундаментальная последовательность в сходится к элементу этого же пространства. Таким образом  — банахово пространство.

Пространство L²

В случае норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве вводится следующим образом:

,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

,

то есть норма порождается скалярным произведением. Ввиду полноты любого следует, что  — гильбертово.

Пространство L

Пространство строится из пространства измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

, где  — существенный супремум функции.

 — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой , называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

в , если при .

Свойства

  • Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве . Пусть при и при , . Тогда почти всюду. Но . Обратное также неверно.
  • Если при , то существует подпоследовательность , такая что почти всюду.
  • функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть  — подмножество , состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда всюду плотно в .
  •  — сепарабельно при .
  • Если  — конечная мера, например, вероятность, и , то . В частности, , то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства

Для пространств , сопряжённое к (пространств линейных функционалов на ) имеет место следующее свойство: если , то изоморфно (), где . Любой линейный функционал на имеет вид:

где .

В силу симметрии уравнения , само пространство дуально (с точностью до изоморфизма) к , а следовательно:

Этот результат справедлив и для случая , то есть . Однако и, в частности, .

Пространства p

Пусть , где  — счётная мера на , то есть . Тогда если , то пространство представляет собой семейство последовательностей вида , таких что:

.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

.

Получившееся нормированное пространство обозначается .

Если , то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

.

Получившееся пространство называется , оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив , получается гильбертово пространство , чья норма порождена скалярным произведением:

,

если последовательности комплекснозначные, и:

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с , где изоморфно , . Для . Однако .

Примечания

  1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если почти всюду, то , что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.
  2. Точнее, выполняется обратное неравенство треугольника — при :

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 13 июня 2022 в 01:22.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).