Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Пространство столбцов

Из Википедии — свободной энциклопедии

Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.
Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.
Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.
Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы  — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть  — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера с компонентами из является линейным подпространством координатного пространства . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит [1]. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом .

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами и соответственно[2].

Обзор

Пусть  — матрица размера .Тогда имеют место такие утверждения про её ранг , где и  — её пространства столбцов и строк соответственно:

  1. [3],
  2. равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде ,
  3. равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы [4].

Пространство столбцов матрицы совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов . То есть, если , то , где  — линейная оболочка .

Действие матрицы на некоторый вектор может быть представлено как линейная комбинация столбцов с коэффициентами, соответствующими координатам . Значит, всегда лежит в . Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из в , то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел или, в общем случае, над произвольным полем .

Пример

Дана матрицы :

Её строки:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Следовательно, пространство строк матрицы это подпространство , заданное как . Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору , из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов , которые ортогональны вектору .

Пространство столбцов

Определение

Пусть  — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица размера со столбцами . Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

Где  — скаляры. Множество всех возможных комбинаций называется пространством столбцов . То есть, пространство столбцов  — это линейная оболочка векторов .

Любая линейная комбинация столбцов матрицы может быть записана как умножение матрицы на некоторый вектор-столбец:

Таким образом, пространство столбцов состоит из всех возможных произведений , где , что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример
Если , то её столбцы это и .
Линейная комбинация и  — это любой вектор, имеющий следующий вид:
Множество всех таких векторов образует пространство столбцов . В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов , удовлетворяющих уравнению .
В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис

Столбцы матрицы порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счастью, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём к ступенчатому виду по строкам:

[5]

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, ). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы . На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен .

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения заданного матрицей выше отображает в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов[6]. Ранг и размерность ядра матрицы c столбцами связаны уравнением:

Связь с коядром

Коядро (левый аннулятор) матрицы это множество векторов таких что . Коядро матрицы совпадает с ядром . Произведение на может быть записано в виде скалярных произведений векторов

Потому что строки являются транспонированными столбцами матрицы . Поэтому тогда и только тогда когда ортогонален ко всем столбцам .

Отсюда следует, что коядро (ядро ) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов .

Для матрицы над кольцами

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом как:

Где . Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора на скаляр таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр[7].

См. также

Примечания

  1. Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в Lay (2005), Meyer (2001), и Strang (2005).
  2. Anton (1987, p. 179)
  3. Anton (1987, p. 183)
  4. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 254)
  5. В указанных вычислениях используется метод Метод Гаусса — Жордана. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.
  6. Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной системе линейных уравнений.
  7. Это важно только если не коммутативно. В действительности такая форма это не более чем результат умножения матрицы на столбец , в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.

Литература

Ссылки

Эта страница в последний раз была отредактирована 18 января 2022 в 10:59.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).