Пространство Соболева

Пространство Соболева — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ${\displaystyle L^{p}(Q)}$, имеющих обобщённые производные заданного порядка ${\displaystyle k}$ оттуда же.

При ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$ пространства Соболева ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ являются банаховыми пространствами, а при ${\displaystyle p=2}$ — гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение ${\displaystyle H^{k}(Q)=W_{2}^{k}(Q)}$.

Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.

Определение

Для области ${\displaystyle Q\subset R^{n}}$ норма в соболевском пространстве ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ порядка ${\displaystyle k\geqslant 1}$ и суммируемых со степенью ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ вводится по следующей формуле:

${\displaystyle \|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}=\left(\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\int \limits _{Q}|D^{\alpha }u|^{p}dx\right)^{1/p},}$

а при ${\displaystyle p=\infty }$ норма выглядит следующим образом:

${\displaystyle \|u\|_{W_{\infty }^{k}(Q)}=\sum \limits _{|\alpha |\leqslant k}\mathrm {ess} \sup |D^{\alpha }u|,}$

где ${\displaystyle \alpha }$ — это мультииндекс, а операция ${\displaystyle D^{\alpha }}$ есть обобщённая производная по мультииндексу.

Пространство Соболева ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ определяется как пополнение гладких функций в ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$-норме.

Примеры

Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.

Пример разрывной функции

Пусть ${\displaystyle Q=\{x\in R^{2}:|x|<1/2\}}$ — круг на плоскости. Функция ${\displaystyle u(x)=\ln |\ln |x||}$ принадлежит пространству ${\displaystyle H^{1}(Q)}$, но имеет разрыв второго рода в точке ${\displaystyle x=0}$.

Пространства Соболева в одномерном случае

Функции из пространства ${\displaystyle H^{1}(a,b)}$ являются непрерывными. Для любых двух функций из пространства ${\displaystyle H^{1}(a,b)}$ произведение этих функций также принадлежит ${\displaystyle H^{1}(a,b)}$. Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.

Свойства

• Для любой области ${\displaystyle Q'\subset Q}$ из ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q)}$ следует, что ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q')}$.
• Если ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q)}$ и ${\displaystyle a\in C^{k}({\overline {Q}})}$, то ${\displaystyle af\in W_{p}^{k}(Q)}$.
• Если ${\displaystyle f\in W_{p}^{k}(Q)}$ финитная в ${\displaystyle Q}$, то продолжение этой функции нулем принадлежит ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q')}$ для любой ${\displaystyle Q\subset Q'}$.
• Пусть ${\displaystyle y=y(x)}$ есть гладкое и взаимно однозначное отображение области ${\displaystyle Q}$ на область ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle F\in W_{p}^{k}(\Omega )}$, тогда функция ${\displaystyle f(x)=F(y(x))}$ принадлежит пространству ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$.
• Пространства Соболева ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ являются сепарабельными пространствами.
• Если граница области ${\displaystyle Q}$ удовлетворяет условию Липшица, то множество ${\displaystyle C^{\infty }({\overline {Q}})}$ плотно в ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$.
• Пусть ${\displaystyle u,v\in W_{p}^{k}(Q)}$, где ${\displaystyle Q}$ — ограниченная область в ${\displaystyle R^{n}}$, звездная относительно некоторого шара. Если ${\displaystyle kp>n}$, то их поточечное произведение ${\displaystyle uv}$, определенное почти всюду в ${\displaystyle Q}$, принадлежит пространству ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$, более того, существует положительная константа ${\displaystyle C}$, зависящая только от ${\displaystyle k,n,p}$ такая, что

${\displaystyle \|uv\|_{W_{p}^{k}}\leq C\|u\|_{W_{p}^{k}}\|v\|_{W_{p}^{k}}}$, иными словами, ${\displaystyle W^{k,p}(Q)}$ является коммутативной банаховой алгеброй, умножение в которой согласовано с нормой ${\displaystyle \|u\|_{W_{p}^{k}(Q)^{*}}=C\|u\|_{W_{p}^{k}(Q)}}$.

• Пространства ${\displaystyle W_{p}^{k}(Q)}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty }$ являются рефлексивными пространствами.
• Пространства ${\displaystyle W_{2}^{k}(Q)=H^{k}(Q)}$ являются гильбертовыми пространствами.

Теоремы вложения

Предполагая, что граница области ${\displaystyle Q\subset R^{n}}$ удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.

Теорема вложения Соболева

Если ${\displaystyle k+n/p<s}$, то имеет место непрерывное вложение

${\displaystyle W_{p}^{s}(Q)\subset C^{k}({\overline {Q}})}$.

Здесь ${\displaystyle k}$ предполагается целым и неотрицательным, а ${\displaystyle s}$ может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.

Теорема Реллиха — Кондрашова

Пусть область ${\displaystyle Q}$ ограничена, ${\displaystyle s_{1}>s_{2}}$, ${\displaystyle 1<p_{1},p_{2}<\infty }$ и ${\displaystyle n(1/p_{1}-1/p_{2})<s_{1}-s_{2}}$, тогда: вложение ${\displaystyle W_{p_{1}}^{s_{1}}(Q)\subset W_{p_{2}}^{s_{2}}}$ вполне непрерывно.

С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.

История

Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.

В работе Фридрихса 1934 года^[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева ${\displaystyle H_{0}^{1}(Q)}$ — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) ещё не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе Соболева^[2] вводятся обобщённые решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщённые решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.

В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха — Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева — Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщённые решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.

В 1940-х годах Ладыженской было предложено определять обобщённые решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщённых решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.

Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах анализа и его приложений.

Вариации и обобщения

Пространства Соболева ${\displaystyle H_{0}^{k}(Q)}$

В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через ${\displaystyle H_{0}^{k}(Q)}$ и вводятся как замыкания множества ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(Q)}$ по норме пространства ${\displaystyle H^{k}(Q)}$, где ${\displaystyle C_{0}^{\infty }(Q)}$ есть множество финитных в ${\displaystyle Q}$ бесконечно дифференцируемых функций.

Пространства ${\displaystyle H_{0}^{k}(Q)}$ являются замкнутыми подпространствами в ${\displaystyle H^{k}(Q)}$. При наличии определенной гладкости границы области ${\displaystyle Q}$ это пространство совпадает с множеством функций из ${\displaystyle H^{k}(Q)}$, имеющих нулевой след на границе области ${\displaystyle Q}$ и нулевой след всех обобщённых производных вплоть до ${\displaystyle k-1}$-го порядка.

Пространства Соболева во всем пространстве

Пространства Соболева ${\displaystyle H^{s}(R^{n})}$ можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции ${\displaystyle f(x)\in L^{2}(R^{n})}$ определено преобразование Фурье ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-ix\cdot \omega }\,dx}$, причем, ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )\in L^{2}(R^{n})}$. Пространство Соболева ${\displaystyle H^{s}(R^{n})}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle H^{s}(R^{n})=\{f\in L^{2}(R^{n}):(1+|\omega |^{2})^{s/2}{\hat {f}}(\omega )\in L^{2}(R^{n})\}}$.

Пространства Соболева на торе

Пусть ${\displaystyle T^{n}}$ — ${\displaystyle n}$-мерный тор. Пространство Соболева на торе ${\displaystyle T^{n}}$, то есть ${\displaystyle 2\pi }$-периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:

${\displaystyle H^{k}(T^{n})=\{f\in L^{2}(T^{n}):\sum \limits _{m_{1},\dots ,m_{n}=-\infty }^{\infty }(1+m_{1}^{2k}+m_{2}^{2k}+\dots +m_{n}^{2k})|f_{m_{1}m_{2}\dots m_{n}}|^{2}<\infty \}}$.

Пространства Соболева дробного порядка

Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть ${\displaystyle W_{p}^{s}}$ или ${\displaystyle H^{s}}$.

В случае 0<s<1 пространство ${\displaystyle W_{p}^{s}}$ состоит из функций ${\displaystyle f\in L^{p}(Q)}$, ${\displaystyle Q\subset R^{n}}$ таких, что

${\displaystyle \|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{L^{p}(Q)}^{p}+\int _{Q}{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{n+ps}}}dxdy\right)^{1/p}.}$

Для нецелого s>1 положим ${\displaystyle s=[s]+\sigma }$, где ${\displaystyle [s]}$ — целая часть s. Тогда ${\displaystyle W_{p}^{s}(Q)}$ состоит из элементов ${\displaystyle W_{p}^{[s]}(Q)}$ таких, что ${\displaystyle D^{\alpha }f\in W_{p}^{\sigma }(Q)}$ для ${\displaystyle |\alpha |=[s]}$ с нормой

${\displaystyle \|f\|_{W_{p}^{s}}=\left(\|f\|_{W_{p}^{[s]}(Q)}^{p}+\sum \limits _{|\alpha |=[s]}\|D^{\alpha }f\|_{W_{p}^{\sigma }(Q)}^{p}\right)^{1/p}.}$

Пространства Соболева отрицательного порядка

При рассмотрении обобщённых решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство ${\displaystyle H^{-k}(Q)}$ определяется по формуле:

${\displaystyle H^{-k}(Q)=\left(H_{0}^{k}(Q)\right)'}$

где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщённых функций. Так, например, пространство ${\displaystyle H^{-1}(-1,1)}$ содержит ${\displaystyle \delta }$-функцию Дирака.

Примечания

Литература

• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
• Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976

Эта страница в последний раз была отредактирована 12 марта 2023 в 18:48.