Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Произведение (теория категорий)

Из Википедии — свободной энциклопедии

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение

Пусть задано  — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории . Объект категории вместе с семейством морфизмов является произведением семейства объектов , если для любого объекта и любого семейства морфизмов существует единственный морфизм , для которого следующая диаграмма:

коммутативна для каждого (то есть ). Морфизмы называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект вместе с семейством проекций является произведением семейства объектов тогда и только тогда, когда для любого объекта отображение

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают , при этом диаграмма принимает вид

Морфизм при этом иногда обозначается .

Единственность результата операции можно альтернативно выразить как равенство , верное для любых .[1]

Примеры

Свойства

  • Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
  • Коммутативность:
  • Ассоциативность:
  • Если в категории существует терминальный объект , то
  • Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм , где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

порождает множество морфизмов

задаваемых по правилу и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования задаёт единственный соответствующий морфизм Если в категории существует нулевой объект то для любых двух объектов существует канонический нулевой морфизм: В этом случае матрица преобразования , задаваемая по правилу

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. также

Примечания

  1. Lambek J., Scott P. J. Introduction to Higher-Order Categorical Logic. — Cambridge University Press, 1988. — С. 304.

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 20 апреля 2020 в 20:38.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).