Для установки нажмите кнопочку Установить расширение. И это всё.

Исходный код расширения WIKI 2 регулярно проверяется специалистами Mozilla Foundation, Google и Apple. Вы также можете это сделать в любой момент.

4,5
Келли Слэйтон
Мои поздравления с отличным проектом... что за великолепная идея!
Александр Григорьевский
Я использую WIKI 2 каждый день
и почти забыл как выглядит оригинальная Википедия.
Статистика
На русском, статей
Улучшено за 24 ч.
Добавлено за 24 ч.
Что мы делаем. Каждая страница проходит через несколько сотен совершенствующих техник. Совершенно та же Википедия. Только лучше.
.
Лео
Ньютон
Яркие
Мягкие

Проекционные методы решения СЛАУ

Из Википедии — свободной энциклопедии

Проекционные методы решения СЛАУ — класс итерационных методов, в которых решается задача проектирования неизвестного вектора на некоторое пространство оптимально относительно другого некоторого пространства.

Постановка задачи

Рассмотрим СЛАУ где - квадратная матрица размерности Пусть и - два -мерных подпространства пространства Необходимо найти такой вектор , чтобы т.е. выполнялось условие:

называемое условием Петрова-Галёркина.

Если известно начальное приближение , то тогда решение должно проектироваться на аффинное пространство Представим и обозначим невязку начального приближения как

Тогда постановку задачи можно сформулировать следующим образом: Необходимо найти такое чтобы т.е. выполнялось условие:

Общий подход к построению проекционных методов

Введём матричные базисы в пространствах и

- матрица размера составленная из базисных векторов-столбцов пространства - матрица размера составленная из базисных векторов-столбцов пространства

Тогда и вектор-решение может быть записан:

где - вектор коэффициентов.

Тогда выражение может быть переписано в виде:

откуда и

Таким образом решение должно уточняться в соответствии с формулой:

Общий вид любого метода проекционного класса:

Делать, пока не найдено решение.

  1. Выбираем пару подпространств и
  2. Построение для и базисов и

Выбор пространств и и способ построения для них базисов полностью определяет вычислительную схему метода.

Выбор подпространств K и L

Случай одномерных подпространств K и L

В случае когда пространства и одномерны, их матричные базисы являются векторами: и и выражение можно переписать как

где - неизвестный коэффициент, который легко находится из условия ортогональности

откуда

Методы с выбором одномерных подпространств и  :

В практических задачах методы использующие одномерные пространства и обладают достаточно медленной сходимостью.

Методы Крыловского типа

Методы Крыловского типа (или методы подпространства Крылова) - это методы для которых в качестве подпространства выбирается подпространство Крылова:

где - невязка начального приближения. Различные версии методов подпространства Крылова обуславливаются выбором подпространства

С точки зрения теории аппроксимации, приближения полученные в методах подпространства Крылова имеют форму

где - полином степени Если положить , то

Другими словами, аппроксимируется

Хотя выбор подпространства и не оказывает влияния на тип полиномиальной аппроксимации, он оказывает существенное влияние на эффективность метода. На сегодняшний день известны 2 способа выбора подпространства дающие наиболее эффективные результаты:

  • и
и
Logo arte.jpg
Теорема.
Если матрица А симметрична и положительно определена, то задача проектирования СЛАУ на любое подпространство ортогонально к подпространству эквивалентна задаче минимизации функционала

где

Logo arte.jpg
Теорема.
Если матрица А невырождена, то задача проектирования СЛАУ на любое подпространство ортогонально к подпространству эквивалентна задаче минимизации функционала

Для построения каждого нового вектора алгоритм ортогонализации Арнольди требует нахождения скалярных произведений и столько же операций линейного комбинирования.

Литература

  • Saad Y.[en]. Iterative methods for sparse linear systems. — 2nd edition. — SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. — С. 477. — ISBN 0898715342.
  • Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. — Новосибирск: НГТУ, 2000. — С. 70.
  • Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — Москва: Мир, 1999.
  • Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения линейных систем. — Москва: Физматлит, 1995.
Эта страница в последний раз была отредактирована 27 мая 2019 в 12:20.
Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.
Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License. Нетекстовые медиаданные доступны под собственными лицензиями. Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. WIKI 2 является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).