Первообразный корень из единицы

Первообразный корень (или примитивный корень) степени ${\displaystyle m}$ из единицы в поле ${\displaystyle K}$ ― это такой элемент ${\displaystyle \xi \in K}$, что ${\displaystyle \xi ^{m}=1}$ и ${\displaystyle \xi ^{\ell }\not =1}$ для любого натурального ${\displaystyle \ell <m}$.

Если ${\displaystyle K}$ ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня ${\displaystyle \xi }$ образуют циклическую группу корней порядка ${\displaystyle m}$ из единицы.

Свойства

• Если в поле ${\displaystyle K}$ существует первообразный корень степени ${\displaystyle m}$, то ${\displaystyle m}$ взаимно просто с характеристикой поля ${\displaystyle K}$.
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
• Если ${\displaystyle \xi }$ ― первообразный корень степени ${\displaystyle m}$, то для любого ${\displaystyle \ell }$ взаимно простого с ${\displaystyle m}$, элемент ${\displaystyle \xi ^{\ell }}$ также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени ${\displaystyle m}$ (когда они существуют) равно значению функции Эйлера ${\displaystyle \varphi (m)}$.
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:

  ${\displaystyle e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell }{m}}+i\sin {\frac {2\pi \ell }{m}}}$,

  где ${\displaystyle \ell }$ взаимно просто с ${\displaystyle m}$.

• В конечном поле ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$, где q — степень простого числа, первообразный корень степени ${\displaystyle q-1}$ является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Milne, James S. Algebraic Number Theory  (неопр.). Course Notes (2014). Дата обращения: 1 октября 2014. Архивировано 17 декабря 2014 года.

Эта страница в последний раз была отредактирована 29 марта 2022 в 08:20.